北京化工大学：《微积分》课程授课教案（PPT课件）经济专题——差分方程 第三节 二阶常系数线性差分方程

第三节二阶常系数线性差分方程 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结 经济数学 微积分

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第三节二阶常系数线性差分方程 三、小结

1.定义 形如yx+2+y+1+yx=f(x) (其中a,b≠0均为常数，f(x)为已知函数) 的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程. f(x)≠0时称为非齐次的，否则称为齐次的. yx+2+四x+1+yx=0称为相应的齐次方程. 2.解的结构定理二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解即yx=+y 经济数学 微积分

1.定义 ( ) 形如yx2  ayx1  byx  f x (其中 a, b  0均为常数， f ( x)为已知函数 ) 的差分方程，称为二阶 常系数线性差分方程． f ( x)  0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． y x  2  ay x 1  by x  0称为相应的齐次方程． 2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解.即 .  x  x  x y y y

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Y=2(2≠0)为对应齐次方程一个解，代入得 2+2+a2+1+b2=0 即22+a2+b=0 此方程称为对应齐次方程的特征方程，其根 2,=-+va2-4 ,,=--v24 2 2 称为相应方程的特征根 现根据a2-4b的符号来确定其通解形式。 经济数学 微积分

一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Yx   x (  0)为对应齐次方程一个解 ，代入得 0 2 1    x x x  a b 0 2 即  a  b  此方程称为对应齐次方 程的特征方程 ,其根 2 4 , 2 4 2 2 2 1 a a b  a  a  b        称为相应方程的特征根 . 4 . 现根据a 2  b的符号来确定其通解形 式

(第一种情形a2>4b时 有两个相异的实特征根入，与2，此时的通解具有 如下形式： .=A1乙+A,22(A1,A,为任意常数) (2)第二种情形a2=4b时 方程有两个相等的实特征根元=2，=一子 此时 的通解具有如下形式： 刀=(A,+A,x(-2(A,4,为任意常数) 经济数学 微积分

如下形式： 有两个相异的实特征根 1与 2，此时的通解具有 ( , ) y A1 1 A2 2 A1 A2为任意常数 x x x     (2)第二种情形 a 2  4b时 的通解具有如下形式： 方程有两个相等的实特 征根 ，此时 2 1 2 a      ) ( , ) 2 ( )( 1 2 A1 A2为任意常数 a y A A x x x    (1)第一种情形 a 2  4b时

3)第三种情形a2<4b时 方程有一对共轭的复特 征根， =-aiv4b-a=atib 1 元=-24-i0-0=a-0 把它们化为三角表示式： r=va'+B2=Vb, tang=B--V46-a 则a=rcos0,B=rsin8 经济数学 微积分

(3)第三种情形 a 2  4b时 方程有一对共轭的复特 征根,       a i b a i a i b a i             2 2 2 1 4 2 1 4 2 1 把它们化为三角表示式 ： a b a r b 2 2 2 4 , tan             则  r cos ,   rsin