函数项级数
函数项级数
例 =1+x+x2+x3+x4+x+x6+x7 5 2=1+x+x2 2 为=1+x %=1 0 1x
例 0 1 1 n n x x
例：Bessel方程的解 x2y"+y'+(x2-n2)y=0,n≥0为常数 :y-1w-24g 2k+n Bessel函数图像 其中T(s)=∫0e*xd, 0.5 J5 0.5 6789 10
例：Bessel方程的解 2 2 2 x y xy x n y n ( ) 0 0 ， 为常数 2 0 1 0 ( 1) ( ) ( 1) ! , 2 ( ) k n k n k x s x y J x k n k s e x dx 解： ， 其中
函数项级数 设{u,(x)}是定义在集合DcR上的一列函数（称为函数列），则 立，()=4(+L()++u()+称为笑合D上的函数项级数 部分和S,=24,(x) k=1 若对某个∈D,∑4，(3)收敛，则称x是∑，(x)的收敛点，否则称为发散点： 由收敛点的全体所构成的集合称为∑，(x)的收敛域，所有发散的点的全 =1 体称为发散域。若x∈D,∑，(x)都收敛，则称该级数在D上逐点收敛
函数项级数 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n u x D u x u x u x u x D 设 是定义在集合 上的一列函数（称为函数列），则 称为集合 上的函数项级数 0 0 0 1 1 , ( ) ( ) n n n n x D u x x u x 若对某个 收敛，则称 是 的收敛点，否则称为发散点； 1 ( ) n n k k S u x 部分和 1 1 ( ) , ( ) n n n n u x x D u x D 由收敛点的全体所构成的集合称为 的 ，所有发散的点的全 体称为发散域。若 都收敛，则 收敛 称该级数在 上 域 逐点收敛
例 判少 1的收敛域 n=1 1+x 解 4+(x） (n→0) lu(x n+11+x1+x 0当 + <1,→1+x>1,即x>0或x<-2时，原级数绝对收敛 2)当 +习>1→+k1,即-2<x<0时，原级数发散 (3)当11+x卡1，→x=0或x=-2,当x=0时，级数1少收敛 =1 n 当x=2时，级数∑发散，故级数的收敛域为（∞，-2）U[0,+∞)
例 1 ( 1) 1 ( ) 1 n n n n x 判断 的收敛域 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 (1) 1, 1 1, 0 2 , 1 1 (2) 1, 1 1, 2 0 ( ) ( , 1 ( 1) (3) |1 | 1, 0 2 ) , 2 0 0 1 , , , 2 , n n n n n n n n x x x x x x x x x x u x x x x n u x n x 解： 当 即 或 时 原级数绝对收敛 当 即 时 原级数发散 当 或 当 时 级数 收敛 当 时 级数 发散，故级数的收敛域为