例 1、计算函数x水)=x+y+c0s0y2s)=N,x≠0,2y y+cosx 的各个方向的偏导数 2、计算函数f(x,y)=x2+3xy+y-1在点(4，-5)的偏导数值 3、若方程-n:=x+定义：为x的函数并且偏导数存在，求产 4、平面x=1交抛物面z=x2+y成一抛物线，求此抛物线在(L,2,5)的斜率 5、R,R和R,欧姆的电阻并联成R欧姆的电阻，的值可以从公式 1-上+1+1求出，求R=30,R,=45和R=90欧姆时的 OR RRR R3 Rz
例 2 2 2 1 ( , , ) cos( ) ( ) , 0 cos y f x y z x y y z f y x 、计算函数 ， x x x , 的各个方向的偏导数 2 2、计算函数f x y x xy y ( , ) 3 1 (4, 5) 在点 的偏导数值 3 ln , z yz z x y z x y x 、若方程 定义 为 的函数并且偏导数存在，求 2 2 4 1 (1,2,5) 、平面x z x y 交抛物面 成一抛物线，求此抛物线在 的斜率 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 , 1 1 1 1 =30, =45 =90 R R R R R R R R R R R R R R 、 和 欧姆的电阻并联成 欧姆的电阻， 的值可以从公式 求出，求 和 欧姆时的
多变量函数的全微分 设开集DcR"以及f:D→R,取定x∈D,△x=(△x,△x2,…,△x)∈R”, △x=x-x,如果存在一个线性函数L(Ax)=∑L,(K)△x使得 f(xo+Ax)-f(xo)=L(Ax)+o(JAxl) L与△x无关，只与x,有关，则称函数f在x,可微，而△x的一次式L(△x) 称为f在x,的全微分，记作d(,b即d(x,)=∑L,(,)dk 如果f在D的每一点都可微，称f是D上的可微函数
多变量函数的全微分 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ( : , , , o ) ( , ( ) ) ( ) + ) ) i n i i n n n n i i i i i i D f D D x x x x df x x x f f L L L f df L dx 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x L L x x x 设开集 以及 ，取定 ， ,如果存在一个线性函数 = 使得 与 无关，只与 有关，则称函数f在 可微，而 的一次式 称为 在 的全微分，记作 ( ，即 ( 如果f D f D 在 的每一点都可微，称 是 上的可微函数
一元向量值函数的导数 设f:U(xo)cR→Rm,x,+△xeU(x),若lim f(飞，+△x-f(】存在，则称在 r→0 △x 处可号.记化)减 或Df(x),E 即f'(xo)=lim f(x+△x)-f(x) △r-→0 x=X0 △x sin 2x 例：f(x)= ln(x+V1+x2),求f'(x),f"(x,f"(0) arctanx
一元向量值函数的导数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )= lim : ( ) , ( ), lim ( ) ( ) m x x x x x x x x x x x U x x x U x x d x x D x dx x f f f f f f f f f f 设 若 存在，则称 在 处可导，记为 或 或 ，即 2 sin 2 ( ) ln( 1 ) , ( ), ( ), (0) arctan x x x x x x x 例：f f f f 求
例：空间参数曲线的切向量 r(t)=x(ti+y(t)j+z(t)k,(a≤t≤b)为一空间曲线的参数化形式 切向量：r'(t)=lim r(t+△t)-r(t) △0 △t r(t+△)-r(@ r(t+△)-r() '() At 力 r(t) r() r(t+△) r(t+△) C 0 0 >y (a) (b)
例：空间参数曲线的切向量 r i j k ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) t x t y t z t a t b 为一空间曲线的参数化形式 0 ( ) ( ) ( ) lim t t t t t t r r 切向量：r
曲面的局部近似 B
曲面的局部近似