北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（试卷习题）《线性代数》第2章习题解答

《线性代数》第二章习题解答 1.求下列齐次线性方程组的通解. (1)2x+3x2-3+5x=0 3x1+X2+2x1-7x4=0, 4x+x2-3x+6x=0 x,-2x、+4x1=7x.=0 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到： 4=3122-207 「23-151 -9191 07-1014 41365-3009-1934 -24-7-i-24 「00151 [1-24-7 101510101 |4=-7-1014 -7-10 764 64 9-19349-19129 Γ9129 ≠0 ∴由克莱姆法则可知，方程组只有零解。 (2)x,+x、+x,+4x.-3x.=0, 2x1+2+3x+5x-5x=0 x1-x2+3x3-2x4-5=0 3x1+x2+5x3+6x,-7x=0 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到： 「1 114 -20114 3> -37 135 -5 0-11-31 3 -2 5-50-2262 3156-7 5-3r 0-22-62 「102 片+5 1 0-11-3 5-2 0000 -20000 0 0 “原方程组的同解方程组：书=-2x-4+2x 为=3-3x4+x 方程的通解： x=-2k-k+2k

《线性代数》第二章习题解答 1 - - 1．求下列齐次线性方程组的通解. （1） 2 3 5 0 , 1 2 3 4 x x x x + − + = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 7 0 , 4 3 6 0 , 2 4 7 0 , x x x x x x x x x x x x + + − = + − + = − + − = 解:对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到： 1 4 2 4 3 4 2 3 1 5 0 7 9 19 2 3 1 2 7 0 7 10 14 3 4 1 3 6 0 9 19 34 4 1 2 4 7 1 2 4 7 r r A r r r r     − − −     − − = −         − −     −     − − − − 1 2 0 0 1 5 0 7 10 14 2 0 9 19 34 1 2 4 7 r r     − −     −     − − 0 1 5 0 1 0 7 64 7 10 14 7 10 64 0 9 129 9 19 34 9 19 129 A = − − = − − =  − − ∴由克莱姆法则可知，方程组只有零解。 （2） x x x x x 1 2 3 4 5 + + + − = 4 3 0 , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 5 5 0 , 3 2 0 , 3 5 6 7 0 . x x x x x x x x x x x x x x x + + + − = − + − − = + + + − = 解:对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 4 1 1 1 1 4 3 1 1 1 4 3 2 2 1 3 5 5 0 1 1 3 1 1 1 3 2 1 0 2 2 6 2 3 3 1 5 6 7 0 2 2 6 2 r r A r r r r     − − −     − − − = −         − − − − −     −     − − − 1 2 3 1 4 1 1 0 2 1 2 0 1 1 3 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 r r r r r r   − +   − − −     −     , ∴原方程组的同解方程组： x x x x 1 3 4 5 = − − + 2 2 x x x x 2 3 4 5 = − + 3 ， ∴方程的通解： x k k k 1 1 2 3 = − − + 2 2

《线性代数》第二章习粮解经 x3=k-3k2+k X1=k1 其中k,k,k为任意实数。 xs=k 2.求下列非齐次线性方程组的通解 (1)5x-x2+2x+x=7 2x1+x2+4x3-2x1=1 x-3x2-6x3+5x=0 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 「5-1217] A=214-21 -5042-247 0716-121 i-36505-24i-3650 「00005 5-250716-121=B 1-3-650 :矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程：0=5，∴方程组无解。 (2) -3x+y-42+21w=-5 x-5y+2-3w=11 x-9y+2:-5w=15 5x+3y+6z-w=-1 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 「-31-42 -57 2-7281 1 -5 7= 2-31 1-9 2 -5155-5 0 y 0-2 4 536-1-15- 2028-414-56 -142-7 28 [0020 5- 14 904 20 -175+145100- -8 1 0 -1 5-95010 -1 -5 -0000 0 00000 01 0 71 100 -8 010 00000 ∴原方程组的同解方程组： x=p-8, y=-w-1, 7 取=2k, 得到方程组的通解：

《线性代数》第二章习题解答 2 - - 2 1 2 3 3 1 4 2 5 3 3 , , , . x k k k x k x k x k = − + = = = 其中 1 2 3 k k k , , 为任意实数。 2.求下列非齐次线性方程组的通解. （1） 5 2 7 , 1 2 3 4 x x x x − + + = 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 1 , 3 6 5 0 . x x x x x x x x + + − = − − + = 解:对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 1 3 2 3 5 1 2 1 7 0 14 32 24 7 5 2 1 4 2 1 0 7 16 12 1 2 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0 r r A r r     − − −     = − −     −         − − − − 1 2 0 0 0 0 5 2 0 7 16 12 1 1 3 6 5 0 r r B     − − =       − − . ∵矩阵 B 所对应的方程组中存在矛盾方程： 0 5 = ，∴方程组无解。 （2） − + − + = − 3 4 2 5 , x y z w 5 2 3 11 , 9 2 5 15 , 5 3 6 1 . x y z w x y z w x y z w − + − = − + − = + + − = − 解:对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 1 2 3 2 4 2 3 1 4 2 5 0 14 2 7 28 3 1 5 2 3 11 1 5 2 3 11 1 9 2 5 15 0 4 0 2 4 5 5 3 6 1 1 0 28 4 14 56 r r A r r r r     − − − − − +     − − − − = −         − − − −     −     − − − − 2 1 1 1 3 2 4 1 1 1 2 2 2 3 1 4 3 0 14 2 7 28 0 0 2 0 14 1 9 0 4 17 1 0 0 8 14 2 0 1 0 1 9 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r     − − −     − − − + +         − − − −         1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 0 7 1 0 0 8 0 1 0 1 0 0 0 0 0 r     − −     −     . ∴原方程组的同解方程组： 1 2 x w = −8 , 1 2 1 , 7 . y w z = − − = 取 w k = 2 ， 得到方程组的通解：

《线性代数》第二章习题解答 x=k-8, y=-k-1, 其中R为任意常数。 :=7 w=2k (3)x1+2x2+x3-3x4+2x=1 2x+x2+x3+x-3x=6 x+x2+2x3+2x4-2x=2 2x1+3x2-5x,-17x4+10x=5 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 「12 1 -3 21 2 1 -3 21 211 1 -36 2 0-3 -1 4= 7 -7 112 -22 5-5 0 -1 5 -4 23-5-17105 5-2r 0 -1-7-1163 1+250 3 -63] -2 103 7 6 31 -4 -8 5 1 1 5-3 00 0-1 1下5 2 -1-5 -1 -5 5 y 00 -8-1610 -5 00 0 00 0 「1001-￥ -30012 - 5+5010-34- 0000 0 0 同解方程组： =-x+学x+誓， 为3=3x4-x- x3=-2x4+x3-}, X=Xa X= 取x=太，x=，得到方程组的通解 x=-k+9k+卓， x2=3k-11k-, x3=-2k+5k-, X=k X= 4k 3.讨论：当a,b为何值时，下列方程组 x1+x3+X3+x4+x=1 3x+2x2+x+x-3x=a x3+2x3+2x4+6x=3, 5x1+4x2+3x3+3x4-x=b

《线性代数》第二章习题解答 3 - - 8 , 1 , 7 , 2 . x k y k z w k = − = − − = = 其中  为任意常数。 （3） x x x x x 1 2 3 4 5 + + − + = 2 3 2 1 , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 6 , 2 2 2 2 , 2 3 5 17 10 5 . x x x x x x x x x x x x x x x + + + − = + + + − = + − − + = 解:对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 4 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 3 6 0 3 1 7 7 4 1 1 2 2 2 2 0 1 1 5 4 1 2 2 3 5 17 10 5 0 1 7 11 6 3 r r A r r r r     − − −     − − − − = −         − − −     −     − − − − − 1 3 4 2 5 1 1 4 4 2 3 2 4 4 3 3 1 0 3 7 6 3 1 0 3 7 6 3 2 2 0 0 4 8 5 1 0 0 1 2 3 0 1 1 5 4 1 0 1 1 5 4 1 0 0 8 16 10 2 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r r     − − + −     − − − − − −         − − − − − −     −     − − 9 15 4 4 5 1 1 2 4 4 11 5 3 2 4 4 1 0 0 1 3 0 0 1 2 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 r r r r   −   − − −   +  − −      . ∴ 同解方程组： 9 15 1 4 5 4 4 xxx = − + + , 11 5 2 4 5 4 4 5 1 3 4 5 4 4 4 4 5 5 3 , 2 , , , x x x x x x x x x x = − − = − + − = = 取 1 1 2 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 15 1 1 2 4 5 2 1 2 4 1 3 1 2 4 4 1 5 2 9 , 3 11 , 2 5 , , 4 . x k k x k k x k k x k x k = − + + = − − = − + − = = 3. 讨论：当 a b, 为何值时，下列方程组： x x x x x 1 2 3 4 5 + + + + =1 , 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 3 , 2 2 6 3 , 5 4 3 3 . x x x x x a x x x x x x x x x b + + + − = + + + = + + + − =

《线性代数》第二章习题解答 有解，在有解的情况下，求它的通解. 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 [1111117 「111111 J- 3211-3a5-30-1-2-2-6a-3 0122635-5r012263 L5433-1b 0-1-2-2-6b-5 「10-1-1-5-21 5+50122 6 3 5+500000a 00000b-2 显然，当ā=0，b=2时，方程组有解：此时，方程组的同解方程组为： x=x3+x4+5x-2 x=-2x3-2x+6x+3, :得到方程组的通解： x=k+k+5k-2 x3=-2k-2k-6k+3, X3=k Xa=k Xs=k3 其中k,k,k为任意实数 4.求x,y,,w使得： 解：由3x3][+46++ 得到 3z3m-1++w2+3 3x=x+4 3y=6+x+y, 解得：x=2,y=4,-=1,1p=3. 3z=-1+2+1w 3=2e+3 「2-17 5.(1)已知A=1 「1-2-5] 0,B= ,求2AB和BA: 340 -34 「3-27]「-2011 (2)设A=1 04 B= 5-17 求2AB-3A及AB 6804-21 「2-r1-2- 解：(1)2AB=210 -34340

《线性代数》第二章习题解答 4 - - 有解，在有解的情况下，求它的通解. 解:对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 3 0 1 2 2 6 3 3 0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3 5 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 5 a a r r A r r b b         − − − − − − − =         −         − − − − − − 2 3 4 3 1 0 1 1 5 2 0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 r r r r a b   − − − −   +   +       − . 显然，当 a b = = 0 , 2 时，方程组有解；此时，方程组的同解方程组为 ： x x x x 1 3 4 5 = + + − 5 2 , x x x x 2 3 4 5 = − − + + 2 2 6 3 ,  得到方程组的通解： 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 4 2 5 3 5 2 , 2 2 6 3 , , , . x k k k x k k k x k x k x k = + + − = − − − + = = = 其中 1 2 3 k k k , , 为任意实数。 4.求 x y z w , , , 使得： 6 4 3 1 2 3 x y x x y z w w z w       + = +             − + 解：由 3 3 4 6 3 3 1 2 3 x y x x y z w z w w     + + + =         − + + + 得到： 3 4 , 3 6 , 3 1 , 3 2 3 . x x y x y z z w w w = + = + + = − + + = + 解得： x y z w = = = = 2 , 4 , 1 , 3. 5.（1）已知 2 1 1 2 5 1 0 , 3 4 0 3 4 A B   −   − −   = =           − ，求 2AB BA 和 ； （2）设 3 2 7 2 0 1 1 0 4 , 5 1 7 6 8 0 4 2 1 A B     − −     = = −             − ，求 2 3 T AB A A B − 及 . 解：（1） 2 1 1 2 5 2 2 1 0 3 4 0 3 4 AB   −   − −   =           −

《线性代数》第二章习题解答 「-1-8-101「-2-16-20 =21-2-5=24-10 922151844 30 2-1 340 「3-27]「-2011「3-27] (2)2AB-3A=21045 -1 7-3104 6804 -21 680 [12-12-4]「9-6217「15-18-29 =214-8 5 302=25-16-2 28-8621824038-40124 [3167-2011「23-1316 AB=-208 5 -17=36-166 7404-216-435 (3)设A是k×矩阵，B是m×n矩阵，如果ACB有意义，则C应为I×m矩阵 6.计算： aaa (1)[x2da az dzs x2 a1x1+a12X2+413X =[x x2]ax++ax aux +aux+aux xa.++dk)+xa.k +dagk +a.k)+x(+onok,+opk)op 「4 =25 3 「11 12 (3)2[12]=24 3 36 08888 (4) 7.举例说明下列命题是错误的： (1)若A2=0,则A=0: (2)若=A,则A=0,或A=E 5

《线性代数》第二章习题解答 5 - - 1 8 10 2 16 20 2 1 2 5 2 4 10 9 22 15 18 44 30     − − − − − −     = − − = − −             2 1 1 2 5 15 21 1 0 . 3 4 0 10 3 3 4 BA   −     − − −   = =           −     − （2） 3 2 7 2 0 1 3 2 7 2 3 2 1 0 4 5 1 7 3 1 0 4 6 8 0 4 2 1 6 8 0 AB A       − − −       − = − −                   − 12 12 4 9 6 21 15 18 29 2 14 8 5 3 0 12 25 16 2 28 8 62 18 24 0 38 40 124       − − − − −       = − − = − −                   − − ； 3 1 6 2 0 1 23 13 16 2 0 8 5 1 7 36 16 6 7 4 0 4 2 1 6 4 35 T A B       − −       = − − = −                   − − . （3）设 A l 是k  矩阵， B m n 是  矩阵，如果 ACB 有意义，则 C 应为 l m 矩阵. 6．计算： （1）   11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 31 32 33 3 a a a x x x x a a a x a a a x                       11 1 12 2 13 3 1 2 3 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 a x a x a x x x x a x a x a x a x a x a x   + +   = + +       + + 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 = + + + + + + + + x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ( ) ( ) ( ) 3 , 1 ij i j i j a x x = =  ； （2）   4 0 1 3 2 5 25 7 3     − =         ； （3）   1 1 2 2 1 2 2 4 3 3 6         =             ； （4） 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0               − − − − − = = =                             − − − − − 7．举例说明下列命题是错误的： （1）若 2 A = 0 ，则 A= 0 ； （2）若 2 A A = ，则 A A E = = 0,或 ;