北京化工大学：《微积分》课程授课教案（专题讲稿）工科数学分析专题——多变量函数的微分学

多变量函数的微分学

多变量函数的微分学

方向导数 设开集DcR"以及f:D→R,u∈R"是一个单位向量，X。∈D,如果极限 m。十0-存在且有限，那么称这个极限是函数在点x处沿 Z 方向u的方向导数，记为 Surface S: z=f(x,y) f(xo+su,yo+su2)-f(xo yo) 或者斗（K,h即 Tangent line Ou f(K+s四)-f(Ko) Pto%,0） =lim 1-→0 S (o+Su1,%+Su2) P(o)u=ui+uzj

方向导数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : , , ( ) ( ( ) li ) ( ) = m m ) li , ( n n s t D f D D f s f f s f f s s f f f                 x x u u u x x u x x u u x u x x 设开集    以及 是一个单位向量， 如果极限 存在且有限，那么称这个极限是函数 在点 处沿 方向 的方向导数，记为 或者 ，即

例（沿某一方向的方向导数存在但不连续） f(x,y)= 器0 1, (xy)=0 取方向u=(cos0,sin0),f0+u)=sin20=454→1=f(0),其他方向 不连续 计彩方个号国-- 的方向导数存在，f八lo00=0

例（沿某一方向的方向导数存在但不连续）     2 2 2 , , 0 ( , ) 1, , 0 xy x y f x y x y x y          (0 / 4,5 / 4 ,0) =(cos ,sin ) ( )=sin 2 1 ( ) , , 0 f t f f                           取方向u 0 u 0 ， ，其他方向 不连续 2 2 2 2 计算得沿方向 或 的方向导数存在， 2 2 2 2

偏导数 沿方向：e,= 0,0,10,…,0的方向导数为f在x处的第个一阶偏导数 记作可，)或者 或者f() Ox, Vertical axis in the plane x=X0 个Vertical axis in the planey=o Tangent line P(o》 P(oof(xor o)) z=f(x,y) The curvez=f(x.Yo) z=f(x,y) in the plane y=yo Tangent line 0 t (xo yo) (xo%+) (o+h,yo) The curve z=f(xo.y) in the plane Horizontal axis Horizontal axis in the plane yo x=x0 in the plane x xo

偏导数      0 1 0 0 0 0, 0,1,0, ,0 i i i x i i f i f f f x x             x e x x x 沿方向：   的方向导数为 在 处的第 个一阶偏导数 记作 或者 或者

偏导数的几何表示 This tangent line has slope f(xo,yo). P(xo.yo.f(xo.yo)) This tangent line has slope f(xo.yo). The curve z=f(xo.y) in the plane x=xo The curve z=f(x,yo) in the plane y=yo z=f(x,y) y=yo (xoyo)x=xo

偏导数的几何表示