定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上解析：选B由CB=APA+PB，得CB-PB=PACP=PA则CP，PA为共线向量，又CP，PA有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上.[课时过关检测]A级——基础达标1.（2021成部市高三高考道应性考试）设a是非零向量，入是非零实数，下列结论中正确的是(）A.a与a的方向相反B.a与a的方向相同C. 1-a|≥[a]D./.a|≥[a解析：选B对于A，当>0时，a与aa的方向相同当 <0时，a与aa的方向相反，A不正确，B正确；对于C，[-a=-[a]，由于|-2的大小不确定，故[-a|与[a的大小关系不确定；对于D，[闪a是向量，而」-a表示长度，两者不能比较大小.故C、D均不正确.2.矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE入AB+uAD（a，μ为实数），则22+=（）AB. 15D.C. 116解析：选ADE-,DA+DO-JDA+DBVIL4t.-+(+0)-，所以2+=所以=1.4.M=.34183.在等腰梯形ABCD中，AB=一2CD，M为BC的中点，则AM=（）AB+ADAB+ADB. A.4222c.A+JD+D.444第11页共70页
第 11 页 共 70 页 定在( ) A．△ABC 的内部 B．AC 边所在直线上 C．AB 边所在直线上 D．BC 边所在直线上 解析：选 B 由 CB ―→＝λ PA―→＋ PB ―→，得 CB―→－ PB ―→＝λ PA―→，CP ―→＝λ PA―→.则 CP ―→， PA ―→为共 线向量，又 CP ―→， PA ―→有一个公共点 P，所以 C，P，A 三点共线，即点 P 在直线 AC 上． [课时过关检测] A 级——基础达标 1．(2021·成都市高三高考适应性考试)设 a 是非零向量，λ 是非零实数，下列结论中正 确的是( ) A．a 与 λa 的方向相反 B．a 与 λ 2a 的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析：选 B 对于 A，当 λ>0 时，a 与 λa 的方向相同，当 λ<0 时，a 与 λa 的方向相反， A 不正确，B 正确；对于 C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小 关系不确定；对于 D，|λ|a 是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．故 C、D 均不正 确． 2．矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若DE ―→＝λAB―→＋μAD―→ (λ，μ 为 实数)，则 λ 2＋μ 2＝( ) A. 5 8 B． 1 4 C．1 D． 5 16 解析：选 A DE ―→＝ 1 2 DA ―→＋ 1 2 DO―→＝ 1 2 DA ―→＋ 1 4 DB ―→ ＝ 1 2 DA ―→＋ 1 4 ( DA ―→＋ AB―→)＝ 1 4 AB―→－ 3 4 AD―→， 所以 λ＝ 1 4 ，μ＝－ 3 4 ，所以 λ 2＋μ 2＝ 5 8 . 3．在等腰梯形 ABCD 中， AB―→＝－2CD―→，M 为 BC 的中点，则AM―→＝( ) A. 1 2 AB―→＋ 1 2 AD―→ B． 3 4 AB ―→＋ 1 2 AD―→ C. 3 4 AB―→＋ 1 4 AD―→ D． 1 2 AB ―→＋ 3 4 AD―→
解析：选B因为B=-2D，所以AB=2DC.又M是BC的中点，所以AM-(AB + AC)=2(AB +AD + DC)(++)+AD424.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足oC=OA+-B，则4BCI等于([ACIA. 1B. 231D.C. 32OB-OB-BAAC-OCOA-3解析：选C因为BC=C-OB=OA+BCOA +-OB-OA =B，所以=3.故选C.4[AC]5.（多选）已知等边△ABC内接于OO，D为线段OA的中点，E为线段BC的中点，则BD=(B+IBCBCB.BA7636?C. BA+JAE+A.D.-解析：选AC如图所示，设BC中点为E，则BD=BA+AD=BA+AE-BA+(AB+BE)=BA.BA+>XBC-3BA+BC.故选A. C.6.(多选)在△ABC中，下列命题正确的是(0A. AB-AC-BCB. AB+BC+CA=0第12页共70页
第 12 页 共 70 页 解析：选 B 因为 AB ―→＝－2CD―→， 所以AB―→＝2 DC ―→.又 M 是 BC 的中点， 所以AM―→＝ 1 2 ( AB ―→＋ AC―→) ＝ 1 2 ( AB―→＋AD―→＋DC ―→) ＝ 1 2 AB―→＋AD―→＋ 1 2 AB―→ ＝ 3 4 AB―→＋ 1 2 AD―→. 4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC ―→＝ 3 4 OA ―→＋ 1 4 OB ―→，则 | BC ―→| | AC ―→| 等于( ) A．1 B．2 C．3 D． 3 2 解析：选 C 因为BC―→＝OC ―→－OB ―→＝ 3 4 OA ―→＋ 1 4 OB ―→－OB ―→＝ 3 4 BA ―→， AC―→＝ OC ―→－ OA ―→＝ 3 4 OA ―→＋ 1 4 OB ―→－OA ―→＝ 1 4 AB ―→，所以| BC―→| | AC―→| ＝3.故选 C. 5．(多选)已知等边△ABC 内接于⊙O，D 为线段 OA 的中点，E 为线段 BC 的中点，则 BD―→＝( ) A． 2 3 BA ―→＋ 1 6 BC―→ B． 4 3 BA ―→－ 1 6 BC―→ C． BA ―→＋ 1 3 AE―→ D． 2 3 BA ―→＋ 1 3 AE―→ 解析：选 AC 如图所示，设 BC 中点为 E，则 BD―→＝ BA―→＋ AD―→＝ BA―→ ＋ 1 3 AE―→＝ BA ―→＋ 1 3 ( AB―→＋BE―→)＝ BA―→－ 1 3 BA ―→＋ 1 3 × 1 2 BC―→＝ 2 3 BA ―→＋ 1 6 BC―→. 故选 A、C. 6．(多选)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A． AB ―→－ AC―→＝ BC ―→ B． AB―→＋ BC―→＋ CA ―→＝0
C.若(AB +AC)(AB-AC)=0，则△ABC为等腰三角形D.若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形解析：选BC 由向量的运算法则知AB-AC-CB，AB+BC+=0，故A错，B对;:(AB + AC)(AB - AC)= AB2- AC2=0,.AB2=AC2,即|AB|=|ACI,:.AABC为等腰三角形，故C对；:AC.AB>0,：角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形.故选B、C7.已知向量ei，e2是两个不共线的向量，若a=2ei一e2与b=ei+2e2共线，则2x=2解析：因为a与b共线，所以a=xb，所以[x=-1,故=.12'答案：-128.如图所示，已知/B=30，ZA0B=90，点C在AB上，OC工AB，若用OA和OB来表示向量OC，则OC=解析：由题意易知OC=OA+AC=OA+AB=OA+(OB - OA) =FO +LOBOA+OB答案：9.已知0为△BC内一点，且2AO=O+OC，D=tAC，若B，0，D三点共线，则t的值为解析：设线段BC的中点为M，则OB+OC=2OM因为2A0=+OC，所以A0=OM第13页共70页
第 13 页 共 70 页 C．若( AB―→＋ AC ―→)·( AB―→－ AC ―→)＝0，则△ABC 为等腰三角形 D．若 AC ―→· AB ―→＞0，则△ABC 为锐角三角形 解析：选 BC 由向量的运算法则知 AB ―→－ AC―→＝ CB ―→， AB―→＋BC―→＋ CA ―→＝0，故 A 错， B 对； ∵( AB ―→＋AC―→)·( AB ―→－ AC―→)＝AB―→2－AC―→2＝0， ∴ AB―→2＝AC―→2，即| AB ―→|＝| AC―→|， ∴△ABC 为等腰三角形，故 C 对； ∵ AC―→· AB―→＞0， ∴角 A 为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选 B、C. 7．已知向量 e1，e2 是两个不共线的向量，若 a＝2e1－e2 与 b＝e1＋λe2 共线，则 λ ＝ . 解析：因为 a 与 b 共线，所以 a＝xb，所以 x＝2， λx＝－1， 故 λ＝－ 1 2 . 答案：－ 1 2 8.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点 C 在 AB 上，OC⊥AB，若 用 OA ―→和 OB ―→来表示向量OC ―→，则 OC ―→＝ . 解析：由题意易知OC ―→＝OA ―→＋ AC ―→＝OA ―→＋ 1 4 AB―→＝OA ―→＋ 1 4 ( OB ―→－OA ―→)＝ 3 4 OA ―→＋ 1 4 OB ―→. 答案：3 4 OA ―→＋ 1 4 OB ―→ 9．已知 O 为△ABC 内一点，且 2AO―→＝OB ―→＋OC ―→，AD―→＝t AC―→，若 B，O，D 三点共 线，则 t 的值为 ． 解析：设线段 BC 的中点为 M，则OB ―→＋OC ―→＝2OM―→. 因为 2AO―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO―→＝OM―→
则0-AM-(A +C)=()AD2414.+=1，解得1=由B，O，D三点共线，得44t窖索:10.(2021·鲁山模拟)在直角梯形ABCD中，A=90°，B=30°，AB=2N3，BC=2，点E在线段CD上，若AE=AD+uAB，则μ的取值范围是解析：由已知AD=1，CD=V3，所以AB=2DC因为点E在线段CD上，所以DE=DC（0≤1≤1)因为AE =AD + DE，又AE=AD+μAB=AD+2uDC=AD+DE，2所以=1,即μ=会25因为 0≤1≤1,所以0≤μ≤答案:[0, ]11.如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BED上一点，且GB=2GE，设AB=a，AC=b，试用a，b表示AD，AG解: AD-I(AB+AC)=2a+2bAG-AB+BG-AB+BE-AB+(BA+BC)-+(C.A)-+C11=3a+3h12.已知a，b不共线，可=a，B=b，OC=c，D=d,OE—→=e，设tER,如果3a=c,2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在求出实数t的值；若不存在，请说明理由。解：由题设知,CD=d-c=2b-3a，CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在—条直线上的充要条件是存在实数k，使得cE=kCD，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，第14页共70页
第 14 页 共 70 页 则AO―→＝ 1 2 AM―→＝ 1 4 ( AB―→＋AC―→)＝ 1 4 AB―→＋ 1 t AD―→ ＝ 1 4 AB―→＋ 1 4t AD―→. 由 B，O，D 三点共线，得1 4 ＋ 1 4t ＝1，解得 t＝ 1 3 . 答案：1 3 10．(2021·唐山模拟)在直角梯形 ABCD 中，A＝90°，B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若 AE―→＝AD―→＋μ AB―→，则 μ 的取值范围是 ． 解析：由已知 AD＝1，CD＝ 3，所以 AB―→＝2 DC ―→. 因为点 E 在线段 CD 上，所以DE ―→＝λDC ―→ (0≤λ≤1)． 因为AE―→＝AD―→＋DE ―→， 又AE―→＝AD―→＋μ AB―→＝AD―→＋2μ DC ―→＝AD―→＋ 2μ λ DE ―→， 所以2μ λ ＝1，即 μ＝ λ 2 . 因为 0≤λ≤1，所以 0≤μ≤ 1 2 . 答案： 0， 1 2 11.如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设AB―→＝a，AC ―→＝b，试用 a，b 表示AD―→， AG―→. 解： AD―→＝ 1 2 ( AB ―→＋ AC―→)＝ 1 2 a＋ 1 2 b. AG―→＝ AB―→＋BG―→＝ AB ―→＋ 2 3 BE―→＝ AB ―→＋ 1 3 ( BA ―→＋ BC―→) ＝ 2 3 AB―→＋ 1 3 ( AC ―→－ AB―→)＝ 1 3 AB―→＋ 1 3 AC―→ ＝ 1 3 a＋ 1 3 b. 12．已知 a，b 不共线，OA ―→＝a，OB ―→＝b，OC ―→＝c，OD―→＝d，OE―→＝e，设 t∈R， 如果 3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在， 求出实数 t 的值；若不存在，请说明理由． 解：由题设知，CD―→＝d－c＝2b－3a，CE―→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k，使得 CE―→＝kCD―→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb
整理得(t-3+3k）a=(2k-t)b[t-3+3k=06解得t=因为a，b不共线，所以有t-2k=0,故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上B级一一综合应用13.（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（A.若AM-,B++AC，则点 M 是边 BC 的中点2B.若AM=2ABAC，则点M在边BC的延长线上C.若AM=一BM-CM，则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=一2，则△MBC 的面积是△4BC 面积的解析：选ACD若AM=AB+AC，则点M是边BC的中点，故A正确；2若AM=2AB-AC，即有AM-AB-AB-AC即BM:CB.则点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0，则点M是^ABC的重心，故C正确；如图，AM=xAB+yAC，且x+y=2可得2AM=2xAB+2yAC，设AN=2AM，则M为AN的中点，则^MBC的面积是AABC面积的，故D正确.故选A、C、D.14.（2021·山西太原模拟）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足/3AM-AB-ACI=0，则△ABM与△ABC的面积的比值为第15页共70页
第 15 页 共 70 页 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因为 a，b 不共线，所以有 t－3＋3k＝0， t－2k＝0， 解得 t＝ 6 5 . 故存在实数 t＝ 6 5 使 C，D，E 三点在一条直线上． B 级——综合应用 13．(多选)设点 M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A．若AM―→＝ 1 2 AB―→＋ 1 2 AC ―→，则点 M 是边 BC 的中点 B．若AM―→＝2AB―→－ AC―→，则点 M 在边 BC 的延长线上 C．若AM―→＝－BM―→－CM―→，则点 M 是△ABC 的重心 D．若AM―→＝xAB―→＋y AC―→，且 x＋y＝ 1 2 ，则△MBC 的面积是△ABC 面积的1 2 解析：选 ACD 若AM―→＝ 1 2 AB―→＋ 1 2 AC―→，则点 M 是边 BC 的中点，故 A 正确； 若AM―→＝2 AB―→－AC―→，即有AM―→－AB―→＝ AB ―→－ AC―→，即BM―→＝ CB―→， 则点 M 在边 CB 的延长线上，故 B 错误； 若AM―→＝－BM―→－CM―→，即AM―→＋BM―→＋CM―→＝0， 则点 M 是△ABC 的重心，故 C 正确； 如图，AM―→＝x AB ―→＋yAC―→，且 x＋y＝ 1 2 ， 可得 2AM―→＝2xAB―→＋2y AC―→， 设AN―→＝2AM―→，则 M 为 AN 的中点， 则△MBC 的面积是△ABC 面积的1 2 ，故 D 正确．故选 A、C、D. 14．(2021·山西太原模拟)若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足|3AM―→－AB―→－ AC ―→ |＝0，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为 ．