D.albC.a=4abbba解析：选C=0得一a≠0，则a与b共线且方向由十0，即a=[a] [b][b][b][alab相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使=0成立.对照各个选项可[al (b]知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反：选项C中a与b的方向相反：选项D中a与b互相垂直，因此选C[练后悟通]平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性：(2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关：(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆；a(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量[a]平面向量的线性运算考点二[定向精析突破]考向1向量的线性运算[例1](1)(2021·西安五校联考)如图，AB是圆0的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB=（OA.AC-ADB. 2AC-2ADC. AD -ACD. 2AD-2AC第6页共70页
第 6 页 共 70 页 C．a＝－ 1 3 b D．a⊥b 解析：选 C 由 a |a| ＋ b |b| ＝0 得 a |a| ＝－ b |b| ≠0，即 a＝－ b |b| ·|a|≠0，则 a 与 b 共线且方向 相反，因此当向量 a 与向量 b 共线且方向相反时，能使 a |a| ＋ b |b| ＝0 成立．对照各个选项可 知，选项 A 中 a 与 b 的方向相同；选项 B 中 a 与 b 共线，方向相同或相反；选项 C 中 a 与 b 的方向相反；选项 D 中 a 与 b 互相垂直，因此选 C. [练后悟通] 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性； (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的 移动混淆； (4)非零向量 a 与 a |a| 的关系： a |a| 是与 a 同方向的单位向量． 平面向量的线性运算 [定向精析突破] 考向 1 向量的线性运算 [例 1] (1)(2021·西安五校联考)如图，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 是半圆弧的两个三等分点，则 AB―→＝( ) A． AC ―→－ AD―→ B．2 AC―→－2AD―→ C． AD―→－ AC―→ D．2AD―→－2 AC―→
(2)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF=()2AB+3ADA.4AB+3ADB.23ADC.SAFD. -AD[解析】（(1)连接CD(图略），因为C,D是半圆弧的两个三等分点，所以CDIIAB，且AB=2CD，所以AB=2CD=2(AD-AC)=2AD-2AC，故选D.(2)DF=AF-AD, AE= AB + BEE为BC的中点，F为AE的中点，AF-AE, BE-BC.2.DF-AF-AD-AE-AD-(AB+BE)-AD-↓AB +IBC - AD ,24又，-故选D4[答案] (1)D (2)D考向2根据向量线性运算求参数[例2]在△ABC中，AB=2，BC=3，ZABC=60°，AD为BC边上的高，0为AD的中点，若AO=AB+μBC，其中，μER，则2+u等于（B.A. 1221c. 3D.3[解析】由题意易得AD=AB+BD=AB+BC则 2A0 =AB +BC,即A0 =-↓AB +IBC.132611所以入=2.M=6第7页共70页
第 7 页 共 70 页 (2)如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中 点，则 DF ―→＝( ) A．－ 1 2 AB ―→＋ 3 4 AD―→ B． 1 2 AB―→＋ 2 3 AD―→ C． 1 3 AB ―→－ 1 2 AD―→ D． 1 2 AB ―→－ 3 4 AD―→ [解析] (1)连接 CD(图略)，因为 C，D 是半圆弧的两个三等分点，所以 CD∥AB，且 AB ＝2CD，所以 AB ―→＝2CD―→＝2( AD―→－ AC ―→)＝2AD―→－2AC―→，故选 D. (2) DF ―→＝ AF―→－AD―→， AE―→＝AB―→＋ BE ―→. ∵E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点， ∴ AF―→＝ 1 2 AE ―→， BE―→＝ 1 2 BC ―→， ∴ DF ―→＝ AF ―→－AD―→＝ 1 2 AE ―→－AD―→＝ 1 2 ( AB―→＋BE―→)－AD―→ ＝ 1 2 AB―→＋ 1 4 BC ―→－AD―→， 又BC―→＝AD―→，∴ DF ―→＝ 1 2 AB ―→－ 3 4 AD―→.故选 D. [答案] (1)D (2)D 考向 2 根据向量线性运算求参数 [例 2] 在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的 中点，若AO―→＝λAB―→＋μBC ―→，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ 等于( ) A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 2 3 [解析] 由题意易得AD―→＝ AB―→＋BD―→＝ AB―→＋ 1 3 BC―→， 则 2AO―→＝AB―→＋ 1 3 BC ―→，即AO―→＝ 1 2 AB ―→＋ 1 6 BC―→. 所以 λ＝ 1 2 ，μ＝ 1 6
112故2+μ=2+63[答案] D[规律探求]考向1是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：看一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连向量和个用三角形法则，性考向2是考向1的逆运算。解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值（1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解；找共(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角性形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解[跟踪训练]1.设 D 是△ABC所在平面内一点，AB=2DC，则（）A.BD=AC-ABB 丽-c-2C. BD-,ACD. BD-AC-↓ABAC-AB2解析: 通A m-配+- 2-.---.2. 在平行四边形 ABCD 中,E,F分别为边 BC,CD 的中点，若AB=xAE +yAF (xJER)，则x-y=解析：由题意得AE-AB+BE-AB+D，AF-AD +DF-AD+AB因为AB=xAE+yAF第8页共70页
第 8 页 共 70 页 故 λ＋μ＝ 1 2 ＋ 1 6 ＝ 2 3 . [答案] D [规律探求] 看 个 性 考向 1 是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为： 一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连向量和 用三角形法则． 考向 2 是考向 1 的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量 的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值 找 共 性 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出 发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解； (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角 形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知 向量有直接关系的向量来求解 [跟踪训练] 1．设 D 是△ABC 所在平面内一点， AB ―→＝2DC ―→，则( ) A． BD―→＝ AC―→－ 3 2 AB ―→ B． BD―→＝ 3 2 AC―→－ AB ―→ C． BD―→＝ 1 2 AC―→－ AB ―→ D． BD―→＝ AC―→－ 1 2 AB ―→ 解析：选 A BD―→＝ BC ―→＋CD―→＝ BC ―→－DC ―→＝AC―→－ AB ―→－ 1 2 AB―→＝ AC ―→－ 3 2 AB―→. 2．在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若 AB―→＝x AE ―→＋yAF―→ (x， y∈R)，则 x－y＝ . 解析：由题意得 AE ―→＝ AB―→＋ BE ―→＝ AB―→＋ 1 2 AD―→， AF ―→＝AD―→＋DF ―→＝AD―→＋ 1 2 AB―→， 因为AB―→＝x AE ―→＋yAF―→
所以AB：AD2所以解得x：y==0所以x-y=2.答案：2考点三共线向量定理的应用[师生共研过关][例3]设两个非零向量a与b不共线(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线。[解] (1)证明 : : AB =a+b, BC =2a + 8b, D =3(a - b) ,. BD = BC + CD =2a + 8b+3(a - b) = 5(a +b) = 5AB ,AB，BD共线，又它们有公共点B，.A，B，D三点共线.(2):ka+b与a+kb共线，.存在实数>，使ka+b=a(a+kb），即(k-2)a=(ak-1)b又a，b是两个不共线的非零向量，[k-a=0,..k2-1=0...k=±1[ak-1=0.[对点变式]1.(变条件)若将本例(1)中“BC=2a+8b”改为“BC=a+mb”，则 m为何值时,A,B，D三点共线？解：BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,第9页共70页
第 9 页 共 70 页 所以AB―→＝ x＋ y 2 AB―→＋ x 2 ＋y AD―→， 所以 x＋ y 2 ＝1， x 2 ＋y＝0， 解得 x＝ 4 3 ， y＝－ 2 3 ， 所以 x－y＝2. 答案：2 共线向量定理的应用 [师生共研过关] [例 3] 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若 AB―→＝a＋b， BC―→＝2a＋8b， CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． [解] (1)证明：∵ AB ―→＝a＋b， BC ―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)， ∴ BD―→＝ BC ―→＋CD―→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB―→， ∴ AB―→，BD―→共线，又它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴ k－λ＝0， λk－1＝0. ∴k 2－1＝0.∴k＝±1. [对点变式] 1.(变条件)若将本例(1)中“ BC―→＝2a＋8b”改为“ BC―→＝a＋mb”，则 m 为何值时，A， B，D 三点共线？ 解： BD―→＝ BC―→＋CD―→＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b
若A，B，D三点共线，则存在实数入，使BD=2AB，[4=2 ,即4a+(m-3)b=2(a+b),解得m=7.[m-3=1,故当m=7时，A，B，D三点共线.2.（变条件)诺将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka+b与a+kb反向共线，所以存在实数.，使ka+b=2(a+kb)(a<0)，[k=),所以所以k=±1.又<0，k=2，所以k=-1[ka=1,故当k=-1时，两向量反向共线[解题技法]利用向量共线定理证明三点共线若存在实数入，使AB=AC，则A，B，C三点共线.存在实数入，向量共线的！共线向量A，B，C在双线的著然奥素成共[提醒】（1使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点：[跟踪训练]1.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=—4a-b,CD=—5a—3b,则四边形ABCD的形状是(）A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对解析：选C由已知，得AD=AB+BC+D=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC故ADⅡBC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.2.已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB=,PA+PB，其中 1ER，则点P一第10页共70页
第 10 页 共 70 页 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使BD―→＝λ AB ―→， 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴ 4＝λ， m－3＝λ， 解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线． 2.(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？ 解：因为 ka＋b 与 a＋kb 反向共线， 所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)， 所以 k＝λ， kλ＝1， 所以 k＝±1.又 λ<0，k＝λ，所以 k＝－1. 故当 k＝－1 时，两向量反向共线． [解题技法] 利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数 λ，使 AB―→＝λ AC ―→，则 A，B，C 三点共线． [提醒] (1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量； (2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． [跟踪训练] 1．在四边形 ABCD 中，AB―→＝a＋2b，BC―→＝－4a－b，CD―→＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选 C 由已知，得AD―→＝ AB ―→＋ BC―→＋CD―→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 BC―→， 故AD―→∥ BC ―→.又因为AB―→与CD―→不平行，所以四边形 ABCD 是梯形． 2．已知 P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB―→＝λ PA―→＋ PB ―→，其中 λ∈R，则点 P 一