解析：如图，设G为BC边的中点.由3AM-AB.ACI=0，得3AM-AB-AC=0，点M为AABC的重心，点M在AG上.连接MG.SaABM[AM)1.221AB +AC=2AG，:3AM=2AG,则又·S-ABGSAABC,..4332SaABGIAG)121ABM与AABC的面积之比为2×332窖案:115.经过△0AB重心G的直线与0A，OB分别交于点P，Q，设OP=mOA，O0一+二的值nOB,m,nER,染nm解：设OA=a,OB=b,则oG-(a+b)，PO= O0 - OP =nb - ma,P0- 0. OP-Ja+) - ma=(由P，G，Q共线得，存在实数2使得PO=PG，C-m)a+b,即nb-ma=2-m=心-m)，n=，消去2，得+±=3.C级-一迁移创新16.(2021泰安肥城市高三适应性训练)定义一种向量运算“@”：a@b=(ab，当a，b不共线时，[a一b，当a，b共线时(a，b是任意的两个向量)。对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：①aob=boa:②(ab)=(aa)ob(aER);a+b)oc=aoc+boc;第16页共70页
第 16 页 共 70 页 解析：如图，设 G 为 BC 边的中点．由|3AM―→－ AB―→－AC―→|＝0，得 3AM―→－ AB ―→－AC―→＝0，∴点 M 为△ABC 的重心，∴点 M 在 AG 上．连接 MG. ∵ AB―→＋ AC ―→＝2AG―→，∴3AM―→＝2AG―→，则|AM―→| |AG―→| ＝ 2 3 ，∴ S△ABM S△ABG ＝ 2 3 .又∵S△ABG＝ 1 2 S△ABC，∴△ ABM 与△ABC 的面积之比为1 2 × 2 3 ＝ 1 3 . 答案：1 3 15．经过△OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设 OP ―→＝mOA ―→，OQ―→＝ n OB ―→，m，n∈R，求1 n ＋ 1 m 的值． 解：设OA ―→＝a，OB ―→＝b，则OG―→＝ 1 3 (a＋b)， PQ―→＝OQ―→－OP ―→＝nb－ma， PG―→＝OG―→－OP ―→＝ 1 3 (a＋b)－ma＝ 1 3 －m a＋ 1 3 b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数 λ 使得PQ―→＝λ PG―→， 即 nb－ma＝λ 1 3 －m a＋ 1 3 λb， 则 －m＝λ 1 3 －m ， n＝ 1 3 λ， 消去 λ，得1 n ＋ 1 m ＝3. C 级——迁移创新 16 ． (2021· 泰 安 肥城 市 高 三 适 应 性训 练 ) 定义一种向量运算“ ⊗ ” ： a⊗ b＝ {a·b，当a，b不共线时， |a－b|，当a，b共线时 (a，b 是任意的两个向量)．对于同一平面 内的向量 a，b，c，e，给出下列结论： ①a⊗b＝b⊗a； ②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)； ③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则[ae|≤|a|+1.以上结论一定正确的是：(填写所有正确结论的序号）解析：当a，b共线时，ab=a-bl=b-a=ba，当a，b不共线时aob=ab=b·a=boa，故是正确的；当=0，b≠0时，(ab）=0，（a)b=0-b≠0，故是错误的：当a+b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a+b)c=la+b-cl，aoc+bec=a·c+b·c，显然a+b-c+a·c+bc，故?是错误的；当 e 与 a 不共线时,ae[=a-e<[a]-le|=[a<[a| +1 ,当 e 与 a 共线时,[ae|=[a - e]≤[a]+1，故④是正确的，答案：①④第二节平面向量基本定理及坐标表示[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义。2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表1.平面向量基本定理及其应示.用。1.数学运算.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘2.平面向量的坐标运算.2.逻辑推理运算。3．平面向量共线的坐标表示4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一平面向量基本定理1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向第17页共70页
第 17 页 共 70 页 ④若 e 是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1. 以上结论一定正确的是 ．(填写所有正确结论的序号) 解析：当 a，b 共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当 a，b 不共线时，a⊗b＝a·b＝ b·a＝b⊗a，故①是正确的； 当 λ＝0，b≠0 时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的； 当 a＋b 与 c 共线时，则存在 a，b 与 c 不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝ a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的； 当 e 与 a 不共线时，|a⊗e|＝a·e<|a|·|e|＝|a|<|a|＋1，当 e 与 a 共线时，|a⊗e|＝|a－e|≤|a| ＋1，故④是正确的． 答案：①④ 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘 运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1.平面向量基本定理及其应 用． 2．平面向量的坐标运算． 3．平面向量共线的坐标表示 1.数学运算． 2．逻辑推理 [重点准·逐点清] 重点一 平面向量基本定理 1．定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向
量a，有且只有一对实数1，2，使a=ei十2e22．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。[提醒]（1)基底el，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一[逐点清]1.（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A. ei=(0,0), e2=(1,1)B. ei=(1,2), e2=(-2,1)C. ei=(-3,4), e2D. ei=(2,6), e2=(1,3)解析：选ACDA，C，D中向量e与ez共线，不能作为基底；B中ei，ez不共线，所以可作为一组基底。2.（必修4第92页12题改编)在平行四边形ABCD中，AB=a，D=b，AN=3NC，M为BC的中点，则MN=(用a，b表示)解析：因为N=3c，,所以N--5a+b)。b,所以MN=AN -AM-(a+b)-(a+b)= - a+b又因为AM=a+1+1答案：一-7a+b重点二平面向量的坐标表示1.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a=(x1,J1),b=(2,2),则a+b=(x+x2,y1±2),a-b=(x-x2,Y1=2),a=(x1,),[a=+(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 AB=(x2-x1, y2-y), [AB|=V(x2-xi)+(y2-y)22.平面向量共线的坐标表示第18页共70页
第 18 页 共 70 页 量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [提醒] (1)基底 e1，e2 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． [逐点清] 1．(多选)下列各组向量中，不能作为基底的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1) B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1) C．e1＝(－3,4)，e2＝ 3 5 ，－ 4 5 D．e1＝(2,6)，e2＝(1,3) 解析：选 ACD A，C，D 中向量 e1 与 e2 共线，不能作为基底；B 中 e1，e2 不共线，所 以可作为一组基底． 2．(必修 4 第 92 页 12 题改编)在平行四边形 ABCD 中，AB―→＝a，AD―→＝b，AN―→＝3NC ―→， M 为 BC 的中点，则MN―→＝ (用 a，b 表示)． 解析：因为AN―→＝3NC ―→，所以AN―→＝ 3 4 AC―→＝ 3 4 (a＋b)， 又因为AM―→＝a＋ 1 2 b，所以MN―→＝AN―→－AM―→＝ 3 4 (a＋b)－ a＋ 1 2 b ＝－ 1 4 a＋ 1 4 b. 答案：－ 1 4 a＋ 1 4 b 重点二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝(λx1，λy1)，|a|＝ x 2 1＋y 2 1； (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ―→＝(x2－x1，y2－y1)，| AB―→|＝ (x2－x1) 2＋(y2－y1) 2 . 2．平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,J1)，b=(x2，2)，则a//b台x1)2-X2)1=0为"_，因为x2，有可能为0；[提醒】(1)allb的充要条件不能表示为X2V2(2)当且仅当 x0 时,llb 与==等价即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应X2J2坐标成比例[逐点清]3. (必修 4 第 96 贡例 2 改编)若向量 a=(2,1), b=(一1,2), c=(0,)，则c可用向量a，b表示为(07A.ja+bB.233D.Cja+i2=(2x - y , x+2y) ,解析：选A设c=xa+yb，则(o，Jr=1,2x-y=0,1-2'所以解得则c=a+b.52[x+2y=2.(y=1,4。(多选)在平面上的点A(2,1)，B(0,2)，C(一2,1)，0(0,0)，下面结论正确的是(A. AB-CA-BCB.OA+OC-OBC. AC-OB-20AD. OA +2OB-OC解析：选BC点A(2,1)，B(0,2)，C(-2,1)，O(0,0)，选项A中,B =(-2,1),C =(4,0),BC =(-2,-1),所以AB-A+ BC,故错误；选项B中，OA=(2,1)，C=(-2,1)，OB=(0,2)，所以OA+OC=OB成立，故正确;选项C中，C=（-4,0)，B=(0,2)，=(2,1)，所以AC=B-2OA成立，故正确；选项D中，OA=(2,1)，B=(0,2)，OC=（-2,1)，所以OA+2OB+OC，故错误故选B、C第19页共70页
第 19 页 共 70 页 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [提醒] (1)a∥b 的充要条件不能表示为x1 x2 ＝ y1 y2 ，因为 x2，y2 有可能为 0； (2)当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与 x1 x2 ＝ y1 y2 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应 坐标成比例． [逐点清] 3．(必修 4 第 96 页例 2 改编)若向量 a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0， 5 2 ，则 c 可用向量 a，b 表示为( ) A. 1 2 a＋b B．－ 1 2 a－b C. 3 2 a＋ 1 2 b D． 3 2 a－ 1 2 b 解析：选 A 设 c＝x a＋y b，则 0， 5 2 ＝(2x－y，x＋2y)， 所以 2x－y＝0， x＋2y＝ 5 2 ， 解得 x＝ 1 2 ， y＝1， 则 c＝ 1 2 a＋b. 4．(多选)在平面上的点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面结论正确的是( ) A． AB ―→－ CA―→＝ BC ―→ B． OA ―→＋ OC ―→＝ OB ―→ C． AC ―→＝ OB ―→－2OA ―→ D． OA ―→＋2 OB ―→＝ OC ―→ 解析：选 BC 点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)， 选项 A 中，AB ―→＝(－2,1)，CA ―→＝(4,0)，BC―→＝(－2，－1)，所以 AB ―→－ CA―→≠ BC ―→，故错 误； 选项 B 中，OA ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－2,1)，OB ―→＝(0,2)，所以OA ―→＋OC ―→＝OB ―→成立，故正 确； 选项 C 中，AC ―→＝(－4,0)，OB ―→＝(0,2)，OA ―→＝(2,1)，所以AC―→＝OB ―→－2OA ―→成立，故正 确； 选项 D 中，OA ―→＝(2,1)，OB ―→＝(0,2)，OC ―→＝(－2,1)，所以OA ―→＋2OB ―→≠OC ―→，故错误． 故选 B、C
5.（必修4第107页练习1题改编）已知向量a=(1,2)，b=(一1,2)，则3a一b=解析：因为向量a=(1,2)，b=（-1,2)，..3a - b = 3(1,2) - ( - 1,2) =(4,4) ;..J3a - bl=42 + 42= 4/2.答案：4V6.(易错题)已知A(一5,8)，B(7,3)，则与向量AB反向的单位向量为7AB解析：由已知得AB=（12，-5），所以AB=13，因此与AB反向的单位向量为：13(-1.)窖案: (-号 %)【记结论提速度][记结论]1.向量共线的充要条件的两种形式(1)a// b台b=za(a0, 2ER);(2)a // b台x1y2-x21=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)xi+xyi+y22.已知P为线段AB的中点，若A(x1，Jyi)，B(x2，J2)，则P点坐标为(223.已知△ABC的顶点A(x1，yi)，B(x2，J2)，C(x3，Jy3)，则△ABC的重心G的坐标为(xi+x+xy+y+)33[提速度]F1.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma十nb与a-2b共线，则B.1^ -1C. -2D. 2解析：选A由向量a=(2,3)，b=（-1,2)，得ma+nb=(2m-n,3m+2n)，a-2b=(4,-1) 由ma+ nb与α-2b 共线，得-(2m- n)=4(3m+2m),所以"=-↓故选An2.已知△ABC的三个顶点A(一2,4)，B(3，一1)，C(一3，一4)。则线段AB中点的坐标为，重心G的坐标为第20页共70页
第 20 页 共 70 页 5．(必修 4 第 107 页练习 1 题改编)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－1,2)，则|3a－b|＝ . 解析：因为向量 a＝(1,2)，b＝(－1,2)， ∴3a－b＝3(1,2)－(－1,2)＝(4,4)； ∴|3a－b|＝ 4 2＋4 2＝4 2. 答案：4 2 6．(易错题)已知 A(－5,8)，B(7,3)，则与向量AB―→反向的单位向量为 ． 解析：由已知得 AB ―→＝(12，－5)，所以| AB ―→|＝13，因此与 AB―→反向的单位向量为－ 1 13AB―→ ＝ － 12 13， 5 13 . 答案： － 12 13， 5 13 [记结论·提速度] [记结论] 1．向量共线的充要条件的两种形式 (1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． 2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为 x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 . 3．已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为 x1＋x2＋x3 3 ， y1＋y2＋y3 3 . [提速度] 1．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则m n ＝( ) A．－ 1 2 B． 1 2 C．－2 D．2 解析：选 A 由向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4， －1)．由 ma＋nb 与 a－2b 共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以m n ＝－ 1 2 .故选 A. 2．已知△ABC 的三个顶点 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．则线段 AB 中点的坐标 为 ，重心 G 的坐标为 ．