cosr=l t 4 2K +2-…+(-1x 2!4! (2k) sin[5+(k+1)xt 2k+2 十 (2k+2) 2 4 coSx=1十 +(-1)42 2k+1 +0(x 2!4! (2k)! In(1+x=x +2+“+(+ n+1 +(-1) (n+1(1+5)”+1 2 x In(1+x)=x 十 +…+(-1) +0(x") 2021/2/20 23
2021/2/20 6 2 2 2 4 2 (2 2)! sin[ ( 1) ] (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 + + + + + = − + − + − k k k x k k k x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 2 1 2 4 2 + = − + − + − + k k k o x k x x x x n x x x x x n n 1 2 3 ( 1) 2 3 ln(1 ) − + = − + ++ − 1 1 ( 1)(1 ) ( 1) + + + + + − n n n n x ( 1) ( ) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 n n n o x n x x x + x = x − + + + − + −
(1+x)=1+a 2! a(a-1)…(a-n+1) ∴十 n! a(a-1)…(a-n) a-n-1n+1 (n+1) ala (1+x)=1+ax+ 2! a(a-1)…(a-n+1) x"+0(x") 2021/2/20 7
2021/2/20 7 1 1 2 (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 − − + + + − − + − − + + + − + = + + n n n x n n x n n x x x ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n x o x n n x x x + − − + + + − + = + +
c=-1 =1-x+x2-x+…+(-1)”x”+o(x") 1+x a √1+x=1+-x+ ∑ (2k-3)!!k x+ox 2 k=2 (2k)! a 2 1 x"+0x √1+x 1-x+∑(D4(2k-1)!!、k k=2 (2k) 2021/2/20
2021/2/20 8 1 ( 1) ( ) 1 1 2 3 n n n x x x x o x x = − + − + + − + + = −1 ( ) (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 1 1 1 2 1 n n k k k x o x k k x x + − + = + + − = − 2 1 = ( ) (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 1 1 1 1 2 n n k k k x o x k k x x + − = − + − + = 2 1 = −
二、泰勒公式应用举例 v局部应用皮亚诺型余项 求未定型极限 确定无穷小量的阶 区间应用拉格朗日型余项 近似计算:近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质 2021/220
2021/2/20 9 求未定型极限 确定无穷小量的阶 二、泰勒公式应用举例 近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质 ▼ 局部应用 ▼ 区间应用 皮亚诺型余项 拉格朗日型余项
(-)近似公式弃去余项,得近似公式 f(x)≈∫(x)+f(x0)(x-x)+ x一J 2! n n ∴ - n 当x。=0时,有 f(x)≈f(0)+f(0)x+ f"(0)2,,f(0) x-+…十 2 当/(+(x)<M时两个公式的误差分别为 M M R(x)<,… n+1 (n+1):1-x0和R(x)< (n+1) 2021/2/20
2021/2/20 10 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x − + − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − 当 x0 = 0时,有 n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 + + + + 当 f (n+1) (x) M 时,两个公式的误差分别为 1 1 0 ( 1)! ( ) ( 1)! ( ) + + + − + n n n n x n M x x R x n M R x 和 （一）近似公式 弃去余项，得近似公式