2.伴随矩阵的性质 14n+a,++an4n=1i=j 0i≠ ,+4++an=i=j 0i≠j 可得： 1A0 .0 01A1 . 0 AA=AA= =AE 0 0 A 只要A0,就有（有）=()1=E
可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A = = = 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j = + + + = = + + + = 1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只要 = = ，就有 2.伴随矩阵的性质
3.定理3.2.1（可逆的充分必要条件) n阶方阵A可逆A≠0，而且A1= 证明 "="(充分) 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A=E=1 所以 |A≠0
3.定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1 = A A n阶方阵A可逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0
推论1若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明：设AB=E则|AB=A‖B=E=1 所以|A≠0，由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A-(AB)=A-E=A- 同理可证，若BA=E,则B=A1
推论1 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 | | | || | | | 1 AB A B E = = = 所以 | | 0, A 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 B EB = = 1 ( ) A A B − 1 A AB ( ) − = 1 A E− = 同理可证，若BA=E，则 1 B A . − = 1 A − =
三、可逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A,A亦可逆，且 (A)1=A,(A)=(A). (2)若A可逆，数1≠0，则2A可逆，且 a-克r (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆且 (AB)=B-A-
三、可逆矩阵的性质 ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A − − − − − = = 若 可逆 则 亦可逆 且 ( ) ( ) 1 1 2 , 0, , 1 . A A A A − − = 若 可逆 数 则 可逆 且 ( ) 1 1 1 3 , , , ( ) A B AB AB B A − − − = 若 均可逆 则 亦可逆 且
证明：（①）·AA1=AA=E.A1可逆， 且有 （A1)-1=A. 又A=A≠0，A何逆， 对AA1=A1A=E,两边取转置得 (A)'A=A(A)y=E.(A)=(A)' (2):几A=元"A≠0(n为A的阶数)A可逆 又AA1=AA=E 24)=(分元A=五即(aA0= A-
1 1 ( ) ( ) A A A A E − − = = 1 1 ( ) ( ) A A − − = 又 A A A = 0， 可逆, 证明： 1 1 (1) AA A A E − − = = 1 A . − 可逆 1 1 ( ) . A A − − 且有 = 1 1 AA A A E − − 对 = = ，两边取转置得 (2) 0( ) n A A n A = 为 的阶数 A可逆. 1 1 AA A A E − − 又 = = 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) A A A A E − − = = ， 1 1 1 ( ) A A − − 即 =