2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl 第一节概率论的基本概念 概率论的诞生及应用 1.概率论的诞生 概率论的诞生及应用 二、随机现象 三、随机试验 问应如何分本”为题求教于帕斯卡，帕斯卡 与费马通信讨论这一问题，于1654年共同建立了 四、小结 概率论的第一个基本概念 —数学期望 2.概率论的应用 二、随机现象 自然界所观寒到的现象：痛定性现象随机现豪 1确定性现象 领城，例如天气预报、地展预报、产品的抽样调 性现 查，在通讯工程中橛率论可用以提高信号的抗干 实例 扰性、分辨率等等 “太阳不会从西边升起” “水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥 0⊙0 实例2用同一门炮向同 确定性现象的特征【匠条件完全决定结果 发，观来弹落点的情况 2.随机现象 结果：弹落点会各不相同。 实例3抛掷一枚般子观 结果有可能为： 实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观衰 出现的点数 正反两面出现的情况 ●$ 的的指古或6 结果有可能出现正面也可能出现反面 随机现象的特征【条件不能完全决定结果 率论就是研究随机现康规性的一门数学学科 0⑧0
2019/9/6 1 二、 随机现象 四、 小结 一、 概率论的诞生及应用 三、 随机试验 第一节 概率论的基本概念 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌 徒胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌 博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡 与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了 概率论的第一个基本概念 数学期望. 一、概率论的诞生及应用 1. 概率论的诞生 2. 概率论的应用 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象 的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学 领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调 查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干 扰性、分辨率等等. 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. “太阳不会从西边升起”, 1.确定性现象 “同性电荷必然互斥”, “水从高处流向低处”, 实例 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 二、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 2. 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面. 确定性现象的特征 条件完全决定结果 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同. 随机现象的特征 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 条件不能完全决定结果 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1
2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 明机现象得示了条件和结系之间的半角定益联 三、随机试验 系，其数量关系无法用西数加以描述 定义 2.随机现象在一次观赛中出现什么结果具有偶然 在概率论中把具有以下三个特征的试验称 性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有 为随机试验 一定的统计规律性，摄率论就是研究随机现象这 1.可以在相同的条件下重复地进行 下规律的一门或学学科 不止一个并且能事 先明 的 所 能结果 么是 现象是 来研究的. 、进行 试验之前不能确定哪一个结果 会出现 说顺水法垫简察为试验是大灯王的大海空有 ②)试验的所有可能结果： 括各种各样的科学实盈，也包括对客观事物进行 字面、花面： S 的“调查”、“观来”或“测量”等 ③)进行一次试验之前不能 确定建一个结果会出现 2.随机试酸通常用E来表示. 故为随机试验 实例“抛掷一枚硬币，现 同骤可知下列试验都为随机试验， 察字面，花面出现的情况 1.抛掷一枚骰子观寨出现的点数 分析 2从一批产品中，依次任选三件记 )试验可以在相同的条件下重复地进行： 录出现正品与次品的件数 ⊙ 四、小结 1.摄率论是研究随机现象规律性的一门数学学科。 随机现意的特征：条件不能完全决定结果 4.考寒某地区10月 2,随机现象是通过随机试验来研究的， 份的平均气湿. 仙)可以在相同的条件下重复地进行 上一个，并且能率 5.从一批灯泡中任取 一只，测试其寿命. 无进行 能确定哪一个结果会 出现， ④⊙⊙ ④⊙@
2019/9/6 2 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验? 如何来研究随机现象? 说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现. 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 定义 三、随机试验 说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”. 分析 2. 随机试验通常用 E 来表示. (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; 1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 同理可知下列试验都为随机试验. (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数. 4. 考察某地区 10 月 份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命. 四、小结 随机现象的特征: 1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. 条件不能完全决定结果. 2. 随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 随 机 试 验 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1
2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl 一、样本空间样本点 第二节样本空间、随机事件 定义 一、样本空间样本点 款为E的样本空间，记为S, 二、随机事件的振念 样本空间的元素，即试验E的每一个结果，称为 样本点 三、随机事件间的关系及运算 实例1抛掷一枚硬币，观察字面，花面出现的情况 四、小结 H→字面朝上 S={H,T.T+花面朝上 实例 抛一枚般子观察出现的点数 实例：记录某公共汽车站某日 绝多的 上午某时刻的等车人数 S.=1.2.3.4.56. S=0,1,2…. 实例3 从一批产品中，依次任选三件，记录出 现正品与次品的情况 实侧 考 地区12月份的平 记N→正品，D→次品 S,=<1<T 则S,={N,NND,NDN,DNWN 其中1为平均温度 NDD,DDN DND,DDD ) 0⊙0 000 。书论+点作保 课堂练习 说明1试验不同，对应的样本空间也不同 写出下列随机试验的样本空间。 1.同时掷三颗子，记录三颗子之和 例如对于同一试验：“将一枚硬币抛算三次” 若观素正面爪、反面T出现的情况，则样本空间 为 答案 S -(HHH HHT HTH.THH. HT.ITH.IHT.). 1.S=3.4.5.…,18 若观察出现正面的次数，则样本空间为 2.S=10,11,12,-. S={0.1.2.3. 0⑧0 ④⊙0
2019/9/6 1 一、样本空间 样本点 三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念 四、小结 第二节 样本空间、随机事件 问题 随机试验的结果? 定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S . 样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为 样本点. 实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况. }.,{ S1 TH 一、样本空间 样本点 H 字面朝上 T 花面朝上 实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. }.6,5,4,3,2,1{ S2 实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况. }. , ,, , , ,, { 3 NDD DDN DND DDD 则 S NNN NND NDN DNN 记 N 正品, D 次品. 实例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数. }.,2,1,0{ S4 实例5 考察某地区 12月份的平 均气温. { }. 5 1 T2 S tT t 其中 t 为平均温度 . 答案 S }.18 , ,5 ,4 ,3{ .1 S }. ,12 ,11 ,10{ .2 写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 课堂练习 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 S .}3,2,1,0{ }.,,, ,,,,{ TTTTHTTTHHTT S HHH HHT HTH THH 说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1
2019/9/6 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 说明3.建立样本空间，事实上就是建立随机现 象的数学模型因此，一个样本空间可以 根括许多内容大不相同的实际问题 所以在具体问题的研究 例如只包含两个样本点的样本空间 中，描述随机现象的第一步 S=IH.T 就是建立样本空间 它既可以作为抛德硬币出现正面或出现反面的 模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 越型等 0⊙@ 二、随机事件的概念 基本件 由一个样本点组成的单点集 1.基本振念 实例“出现1点，“出现2点”，，，，“出现6点 随机事件随机试酸E的样本空间S的子桌称 必然事件葡机试验中必然会出现的结果 为E的随机事件，简称事件. 实例上述试验中“点教不大于6”就是必然事件 实例抛辄一妆子，观察出要的点数令 不可能喜件随机试验中不可能出理的结果， 实例上述试验中“点教大于6”就是不可能事件 式验中，般子“出现1点”，“出现2点”，…，“出现6点 “点数不大于4”，“点数为偶数”等都为随机事件 必然事件的对立面是不可能事件不可能事 件的对立面是必然事件它们互称为对立事件 ④⊙@ 2,几点说明 3)随机试验、样本空间与随机件的关系 ()随机事件可简称为事件，并以大写英文字母 A,B,G,…来表示事件 例如抛掷一枚般子，观察出现的点数 可设A一“点数不大于4”， 随机试验 一样本空间子集随机事件 B=“点数为奇数”等等 基本事件 (②事件失业的能念 样本出时这且，子集中的一个 不可能事件 互为对立事件 0⊙⊙ ④⊙@ 2
2019/9/6 2 说明 3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等. S H T},{ 所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间. 随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 1. 基本概念 二、随机事件的概念 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点” 基本事件 由一个样本点组成的单点集. 2. 几点说明 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等等. (1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件 (2) 事件发生的概念 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个 样本点出现时，称这一事件发生。 (3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间 子集 随机事件 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 复合事件 互为对立事件 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1
2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl 三、随机事件间的关系及运算 .A等于B若率件A包含事件B,而且事件 B包含事件A,则称事件A与事件B相等，记作 设试验E的样本空间为S,而A,B,A(k= -B. 1,2,是S的子集 1.包含关系若事件A出现，必然导致B出现， 则称事件B包含事件A,记作B了A或ACB. 率件B的和件 实例“长度不合格”必然导致“产品不合格” 实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径 所以“产品不合格”包含“长度不合格” 是否合格所决定，因此“产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并 图示B包含A. 08s 阳示事件A与B的并 推广称心A为n个事件A,4,,A的和事件 否合 称心4为可列个事件4,4，…的和事件 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件 .事件A与B的交（积事件） 图示事件A与B的积事件. 事件AnB=xxeA且xeB称为事件 A与事件B的积事件. 积事件也可记作A,B或4B. 0⊙0 0⊙0 生丰检动点作他销 。书色+长作保 推广称门4为n个事件小4的积率件 5事件A与B的差 由事件A出现而率件B不出现所组成的 称门4为可列个事件44，…的积事件 事件弥为事件A与B的楚记作A-B. 和喜件与积率件的运算性质 套是 B的差 AUA=AAU5=S,AU②=A BCA BA A0=4,Ans=4,400=0. 4-B B 0⊙@ 0⊙⊙
2019/9/6 3 ),2,1 . ( , , , 是 的子集 设试验 的样本空间为 而 S E k kABAS 1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 或 BAAB . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以“产品不合格”包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A. S A B 三、随机事件间的关系及运算 2. A等于B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件 B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B. 3. 事件 A 与 B 的并(和事件) . } { 事件 的和事件 事件 或 称为事件 与 B BxAxxBA A 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径 是否合格所决定，因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并. S B A B A , , , ; 21 1 推广 k 为称 个事件 n 的和事件 n k AAAnA 4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) 积事件也可记作 或 ABBA . , , . 21 1 称 Ak 为可列个事件 AA 的和事件 k . { } 与事件 的积事件 事件 且 称为事件 BA BxAxxBA 图示事件A与B 的积事件. S A AB B 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 和事件与积事件的运算性质 AAA , A S S, AA , AAA , A S A, A . , , , ; 21 1 推广 为称 个事件 n 的积事件 n k k AAAnA , , . 21 1 称 A 为可列个事件 AA 的积事件 k k 5. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的 事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B. 图示 A 与 B 的差. S A B S A B AB AB BA BA 实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合 格”与 “直径合格” 的差. 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1