随机变量函数的期望 例:设随机变量X的分布律为 X-101 求随机变量Y=X2的数学期望 解-:Y|10 212 E(Y)=1.-+0 333 解 E(Y)=E(X2)=∑xP=(1-2+0212,12 33
三.随机变量函数的期望 例 ：设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 求随机变量Y=X 2的数学期望 P k 3 1 3 1 3 1 解一: Y 1 0 P k 3 1 3 2 3 2 3 1 0 3 2 ∴ E ( Y ) = 1⋅ + ⋅ = 解二： 3 2 3 1 1 3 1 0 3 1 ( ) ( ) ( 1 ) 2 2 2 3 1 2 2 = = ∑ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = k = k p k E Y E X x
定理(p115)若X~PX=x}=pk=1,2,…,则 Y=g(X)的期望E(g(X)为 E(Y)=E[g(X)=∑g(x)k k=1 推广(p117)若XY)~P(X=xnY=y}=p j=1,2,,则z=g(XY)的期望 E(Z)=Eg(X,Y=∑∑g(x,y1)
• 定理(p115) 若 X ~ P{X=xk}=pk, k=1,2,…，则 Y=g(X)的期望E(g(X))为 ( ) [ ( )] ( ) . 1 k k E Y E g X ∑ g xk p ∞ = = = • 推广(p117) 若(X,Y)∼P{X=xi,Y=yj}= pij, i,j=1,2,…, 则Z=g(X,Y)的期望 ( ) [ ( , )] ( , ) . 1 1 ij i i j j E Z E g X Y ∑ ∑ g x y p ∞ = ∞ = = =
例4设随机变量(X,Y)的分布律如下,求E(XY) y 2 0.150.15 0.450.25 解:E(XY)=0×1×0.15+0×2×0.15 +1×1×0.45+1×2×0.25 =0.95
例4 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY) x y 1 2 0 0.1 5 0.1 5 1 0.4 5 0.2 5 解 : E (XY ) = 0 × 1 × 0.15 + 0 × 2 × 0.15 + 1 × 1 × 0.45 + 1 × 2 × 0.25 = 0.95
EX2:设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a>0) 解:Y=ax+b关于x严单,反函数为h)=y-b Y的概率密度为 b b、1 fy(=fo y 2 2丌 y-b E(r) e idy=ddate dr=b 丌
EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a>0) a y b h y − 解： Y=ax+b关于x严单，反函数为 ( ) = Y的概率密度为 a e a y b 1 2 1 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = a a π y b f y f Y X 1 ( ) ( ) − = dy a e y E Y a y b 1 2 ( ) 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∞ − ∞ ∫ = π e dx ax b x 2 2 2 − ∞ − ∞ ∫ + = π = b
定理(p115)若X-f(x,-0x<o,则Y=g(X)的期望 E(Y)=Elg(X)]= g(x)f(x)dx 推广p(116,15式)若Ⅸ,Y)-f(x,y),∞x<∞o, ∞yo,则Z=9(X,Y的期望 E(Z=Elg(x,y)] g(x, y)f(x, y)dxdj P117例9
• 定理 (p115) 若X~f(x), -∞<x<∞, 则Y=g(X)的期望 ∫∞−∞ E(Y) = E[g(X )] = g(x) f (x)dx. • 推广 p(116,1.5 式) 若(X, Y) ~f (x, y), -∞<x<∞, -∞<y<∞, 则Z=g(X, Y)的期望 ∫ ∫ ∞−∞ ∞−∞ = = ( , ) ( , ) . ( ) [ ( , )] g x y f x y dxdy E Z E g X Y • P117 例9