例2长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分 发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时 刻随机地到达车站,求乘客的平均候车时间 10了0 550 解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则 10-X0≤X<10 30-X10≤X<30Jx(x)=1600x<60 Y=g(X) 0 others 55-X30≤X<55 70-X55≤X<60 E()=J8(x)(x)=/1 0608(x)dx=10分25秒
例2 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分 发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时 刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间 解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ < − ≤ < − ≤ < − ≤ < = = 70 55 60 55 30 55 30 10 30 10 0 10 ( ) X X X X X X X X Y g X ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < = others x f x X 0 0 60 60 1 ( ) ∫ ∫ ∞ − ∞ ∴ = = 60 0 ( ) 60 1 E ( Y ) g ( x ) f ( x )dx g x dx =10分25秒
设X服从N(0,1)分布,求E(X2),E(X3),E(X4) 解 f(x)= 0 2兀 X X E(X2)= de 2 -sax 元 √2丌 2 2丌
设X服从N(0,1)分布，求E(X 2),E(X 3),E(X 4 ) 2 2 2 1 ( ) x f x e − = π e dx x E X x 2 2 2 2 2 ( ) − ∞ − ∞ ∫ = π 2 2 2 x de x − ∞ − ∞ ∫ = − π 解 e dx x 2 2 2 1 − ∞ − ∞ ∫ = π = 1
x E(x)=∫, dx=0 2兀 4 E(X+)=「e2ax 2丌 X de2=3/h2x2 dx D√2x 元
e dx x E X x 2 3 3 2 2 ( ) − ∞ −∞ ∫ = π = 0 e dx x E X x 2 4 4 2 2 ( ) − ∞ −∞ ∫ = π 2 3 2 2 x de x − ∞ −∞ ∫ = − π e dx x x2 2 2 2 3 − ∞ −∞ ∫ = π = 3
四数学期望的性质P9 1。E(c)=c,c为常数; 2。E(cX)=cE(X),c为常数; 证明:设Ⅹ~f(x),则 E(cx)=af(x dx=c]xf(x)dx=cE(X)
四.数学期望的性质(P119) 1。 E(c)=c，c为常数; 2。E(cX)=cE(X), c为常数; 证明：设X~f(x)，则 ∫ ∞ −∞ E(cX ) = cxf (x)dx = c xf (x)dx = cE(X ) ∫ ∞ −∞
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);特别地:E(X+a)=E(X)+a 证明:设(X,Y(x2y) E(X +Y)=(x+y)f(x, y)dxc Sfx(x, )drdy+jJx(x, yydxdy ∫对∫f(x,yjy/(x,y)y 「(x+()=E(X)+E()
3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)；特别地： E(X+a)=E(X)+a 证明: 设(X,Y)~f(x,y) ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ E ( X + Y ) = ( x + y ) f ( x , y )dxdy ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ = xf ( x , y )dxdy ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ + yf ( x , y )dxdy x [ f ( x , y )dy ]dx ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ = ∫ ∫ ∞ − ∞ ∞ − ∞ + y [ f ( x , y )dx ]dy xf x dx ∫ X ∞ − ∞ = ( ) yf y dy ∫ Y ∞ − ∞ + ( ) = E ( X ) + E ( Y )