二.几个重要rv的期望 1.0-1分布的数学期望 X10 Pp 1-p E(X-p 2二项分布b(n,p) P(X=k=Cnp (1-p)k=0 E(X)=np
二.几个重要r.v.的期望 1. 0-1分布的数学期望 ⇒ P p − p X 1 1 0 E(X)=p 2. 二项分布b(n,p) P X k C p p k n k k n k n { = } = (1 − ) = 0.1,... − E ( X ) = np
证:B(=26060D(0Dy ∑ p(1-p) k k(k-1)(m-k) ∑ k-1 (1-p) n-1-(k-1) P k=1 (k-1)!(n-k)! 令=k-1m∑Cmp(-p)+ 1=0
∑ = − − − = n k k n k p p k n k n E X k 1 (1 ) !( )! ! 证一： ( ) k n k n k p p k n k n − = − − − = ∑ (1 ) ( 1)!( )! ! 1 1 1 ( 1) 1 (1 ) ( 1)!( )! ( 1)! − − − − = − − − − = ∑ k n k nk p p k n k n np l n l n l l l k np Cn p p − − − = = − ∑ − − 1 1 0 1 令 1 (1 ) = np
3.泊松分布 X PX=k k=0.1.2 k! E(X)=∑ke=ek k=0 kl ks(k-1l3 4.均匀分布U(a,b) X f(x)=b-aa<x< 0,其他 x atb E(X) dx a b
3.泊松分布 , 0, 1, 2, ... ! ~ { = } = = − e k k X P X k k λ λ ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − − = − = = 0 1 1 ; ! ( 1)! ( ) k k k k k e e k E X k λ λ λ λ λ λ 4. 均匀分布U(a, b) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ < < = − 0, , , , 1 ~ ( ) 其他 a x b X f x b a ∫ + = − = ba a b dx b a x E X ; 2 ( )
5.指数分布(p124) /0 f(x)=10 x>0 0x≤0 E(X)=∫xed=-xex 6 x/0 e +e-x/dx=0 0
5.指数分布（p124） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > = − 0 0 0 1 ( ) / x e x f x x θ θ = θ E X x e dx x ∫ ∞ − = 0 1 / ( ) θ θ ∫ ∞ − = − 0 x / θ xde xe e dx x x ∫ ∞ − ∞ − = − + 0 / 0 / θ θ
6.正态分布N(μ,?)p126 ⅹ~f(x) e 20 0<X<0 2丌G x x E(X)= 2 X at 2 2丌
6. 正态分布N(µ, σ2) p126 − ∞ < < ∞ π σ = σ −µ − e , x 2 1 X ~ f(x) 2 2 2 (x ) e dx x E X x 2 2 2 ( ) 2 ( ) σ µ π σ − ∞ − ∫− ∞ = ; 2 2 2 e dt x t t t σ π σ µ σ µ ∞ − ∫− ∞ − + 令 = = µ