《复变函数论》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 解析函数的幂级数表示法

3.解析函数项级数 (维尔斯特拉斯定理) 定理49设(1)f(=)(m=1,2…)在区域D内解析, (2)∑/(-)在D内内闭一致收敛于函数f(=) f(-)=∑f(=)和的p阶导数等于 P阶导数之和 则(1)f(=)在区域D内解析 (2)f((=)=∑f0(=)(zeDp=1,2,3,…) n=1 在数学分析中,画数项级数能逐项求导的条件是苛刻的 然而解析画数项級数抠导的冬件却相对宽些 返回 2021-2-22 复变函数 21

2021-2-22 复变函数 21 3.解析函数项级数 (维尔斯特拉斯定理 ) 定理4.9 f z n   n1 f z n f z f z   n1 f z = n 则 f z （2）   f z p   n1   f z p n = (   在数学分析中，函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的， 然而解析函数项级数求导的条件却相对宽些 返回 n 1,2, 在D内内闭一致收敛于函数 和的p阶导数等于 P阶导数之和 在区域D内解析， （2） ; 设（1） （1） 在区域D内解析。 z D,p= 1, 2, 3 , )

证(1)设=0为D内任一点,则必有p>0.使闭圆K:2-0≤p 全含于D内。若C为圆K:2-20<P内作任一围线, 则由柯西积分定理,得 fn(=)z=0,n=123 再由假设知级数∑f()在K上一致收敛,且f(=)连续, 所以由定理46知f(=)在K上连续,由定理47得 f(=)d=∑J(=)=0 于是,由摩勒拉定理知f(=)在K内解析,即f(=)在点20解析一 由于0的任意性,故f(-)在区域K内解析。 (2)设=0为D内任一点必有P>0使闭圆K2-=0≤p 全含于D内, ,K的边界是圆周r:Z-Z=p。 故由定理3.13有 2021-2-22 复变函数 口■22

2021-2-22 复变函数 22 证  K : z  z0   0 K : z  z  f zdz c n =0,  再由假设知级数   n1 f z n c f (z)dz K f z n 所以由定理4.6 f z K = 于是， f z f z （2） 0 f z z 0 z  K : z  z0   K  : Z  Z0   0 z 0 z 故由定理3.13 有 全含于D内， 的边界是圆周 。 设 为D内任一点必有 >0 使闭圆 由于 的任意性，故 在区域K内解析。 由摩勒拉定理知 在K内解析，即 在点 解析 知 在 上连续，由定理4.7 得 在 上一致收敛，且 连续， 则由柯西积分定理 全含于D内。若C为圆 < 内作任一围线， (1) 设 为 D内任一点 ，则必有 >0, 使闭圆 n=1,2,3, , 得  f zdz c n n    1 0

f(2) P 012m(-=0) (P=132,3,…) P 0 ds 2Ti 在r上由条件(2)知级数 f(s f(s) ∑ 是一致收敛的。于是由 0 n=1 定理47得到[() d5=∑ f(s ds 0 n=1 0 两端同乘以P即得所要证明的 2ifp(=0)-a (=)P=123 2021-2-22 复变函数 (返回23

2021-2-22 复变函数 23    0 f z p i p 2 !             d z f p 1 0 =    0 f z p n i p 2 !            d z f p n 1 0 = 在     1 0   p z f     n1     1 0   p n z f   = 是一致收敛的。 定理4.7     1 0   p z f   d    n1     1 0   p n z f   = d 两端同乘以 i p 2 !     0 f z p   n1    0 f z p n = (  返回 上 由条件（2）知级数 于是由 得到 即得所要证明的 P =1,2,3, ) ( P =1,2,3,  )

0.预备知识 1)复数列zn=xn+n(n∈N)收敛于 20=x6+1的充要条件是{xn}、{n 分别收敛于x0、y 2)n=xn+n有极限→∨E>0,3N∈NG),Smn>N 有2mz<3(∈N)柯西收敛准则 3)(摩勒拉定理)若函数f(=在单连通区域连续,且对D内 的任一围线C,有「()=0则/()在D内解析二 返回 2021-2-22 复变函数 24

2021-2-22 复变函数 24 0.预备知识 复数列 z n  x n  iy n ( n  N ) 收敛于 x0 2）z x i y n n n   有极限   >0，N N(),s.t.n  N 有 zn p zn   <  若函数 （柯西收敛准则） 的任一围线C， ( )  0  f z dz c 则 返回 xn、yn 分别收敛于 、 0 y z0 x0 iy0 的充要条件是 3) (摩勒拉定理) 有 p  N  1） f z在D内解析 f z在单连通区域连续,且对D 内

)(柯西积分定理)设f(z)在z平面上的单连通区域D内解析, C为D内任一条围线,则「f(=)1z=0 5)(柯西积分公式)设区域D的边界是围线C,f(z)在D内解析 在D=D+C上连续,则有 _1f(=) f(=)= d(z∈D) 2ni 6)(解析函数的无穷可微性) n/(d(z∈D) fl()=.J 2021-2-22 复变函数 25

2021-2-22 复变函数 25 设  f zdz  0 c 5) (柯西积分公式） 设区域D的边界是围线C， =D+C 上连续，        c d z f z i f z  2  1 f z D f z 6) (解析函数的无穷可微性)           c n n d z f i n f z     1 2 ! 返回 4) (柯西积分定理) C为D内任一条围线， 则 在z平面上的单连通区域D内解析， 在D内解析 在 则有 (z  D) zD