Ch4-86 §44协方差和相关系数 问题对于二维rv.(X,Y) 已知联合分布 边缘分布 对二维r.除每个rⅴ各自的概率特 性外,相互之间可能还有某种联系 怎样用一个数去反映这种联系? 数E(X-E(XY-E(Y 便反映了r.V.X,Y之间的某种关系
Ch4-86 § 4.4 协方差和相关系数 问题 对于二维 r.v. (X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维 r.v. 除每个 r.v.各自的概率特 性外, 相互之间可能还有某种联系. 数 E X E X Y E Y ([ ( )][ ( )] − − ) 便反映了 r.v. X , Y 之间的某种关系. 怎样用一个数去反映这种联系?
4-87 ●协方差和相关系数的定义 定义称E(X-E(X)Y-E) 为X,Y的协方差.记为 COV(, r)=E(LX-E(YILY-E(I) 称(D(X)cov(x,Y) COV(X,Y D(n) 为(X,Y)的协方差矩阵 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵
Ch4-87 称 E X E X Y E Y ([ ( )][ ( )] − − ) 为 X ,Y 的协方差. 记为 cov( , ) [ ( )][ ( )] X Y E X E X Y E Y = − − ( ) 称 cov( , ) ( ) ( ) cov( , ) X Y D Y D X X Y 为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵 协方差和相关系数的定义 定义
Ch488 若D(X)>0,D(Y)>0,称 E (X-E(XD)(Y-E(Y) COV(X, Y) D(X,D(Y) D()D(Y) 为X,Y的相关系数,记为 coV(X,Y 无量纲 尸 XY ⑦(X)√D(Y) 的量 事实上,p1y=cov(X*,F 若Px=0,称X,Y不相关
Ch4-88 若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称 ( ) ( ) cov( , ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) D X D Y X Y D X D Y X E X Y E Y E = − − 为X ,Y 的 相关系数，记为 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y XY = 事实上， cov( , ) XY = X Y 若 = 0, XY 称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量
协方差和相关系数的计算 Ch4-89 Q COV(X, Y=E(XY-E(XE(Y =±(D(X±Y)-D(X)-D(Y) 若(X,Y)为离散型, cov(X,Y)=∑∑[x-E(X川yn-E(Y)p 若(X,Y)为连续型, +00+ cOV(X, r) x-E(X川y-E()f(x,y)b
Ch4-89 若 ( X ,Y ) 为离散型， 1 1 cov( , ) [ ( )][ ( )] i j ij i j X Y x E X y E Y p = = = − − 若 ( X ,Y ) 为连续型， cov( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) X Y x E X y E Y f x y dxdy + + − − = − − 协方差和相关系数的计算 ❑ cov( X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y) ( ( ) ( ) ( )) 2 1 = D X Y − D X − D Y
例1已知X,Y的联合分布为 PX 0 Y p< p+q=1 0 q 求cov(x,Y),Py 解 xP Y 10XY10 p q P pq Pp q
Ch4-90 求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 < p <1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P