Ch5-21 552中心极限定理 定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列X,X2…X 独立同—分布,且有期望和方差 E(XA)=4,D(HA)=a2>0,k=1,2 则对于任意实数x SXL-nA k=1 e 2 dt n→>00 2丌
Ch5-21 §5.2 中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n , 独立同一分布, 且有期望和方差： E(Xk ) = , D(Xk ) = 2 0 , k =1,2, 则对于任意实数 x , − − = → = − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim 定理1
n5-22 ∑Xk-n 注记y= no 则Yn为∑ⅹk的标准化随机变量 limP(Zn≤x)=φ(x) n→>00 即n足够大时,Yn的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 Y N(O, 1) ∑X=√mo以+n4近似服从N(n1nmo2)
Ch5-22 注 则 Y n 为 = n k Xk 1 的标准化随机变量. limP(Y x) (x) n n = → 即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数 n X n Y n k k n − = 记 =1 Y ~ N(0,1) n 近似 = n k Xk 1 = nY n + n ( , ) 2 近似服从N n n
Ch5-23 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响,而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 (即这些因素的叠加)的结果 若联系于此随机现象的随机变量为X 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 用的因素的总和∑X,而这个总和服从 或近似服从正态分布
Ch5-23 中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X ， 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用 则它可被看成为许多相互独立的起微小作 k 用的因素X Xk k的总和 ，而这个总和服从 或近似服从正态分布. (即这些因素的叠加)的结果
n5-24 对此现象还 可举个有趣 的例子 高尔顿钉板 试验—加 以说明 N(0,√n) n—钉子层数 o blo olo 0 3
Ch5 -24 对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明 . − 3 0 3 • • • • • •••• N (0, n ) n — 钉子层数
Ch5-25 定理2德莫佛拉普拉斯中心极限定理 ( DeMoivre-Laplace 设Yn~B(n,p),0<p<1,n 则对任一实数x,有 lim pl Yn-np≤x e n→>O np(I-p) 2丌 即对任意的a<b, Y b lim pl a< np <6 e 2 dt np(1-p) √2 Yn~N(mp,mp(1-p)(近似)
Ch5-25 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x，有 − − → = − − x t n n x e dt np p Y np P 2 2 2 1 (1 ) lim 即对任意的 a < b, − → = − − b a t n n b e dt np p Y np P a 2 2 2 1 (1 ) lim Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 定理2