Ch7-46 §7.2点估计的评价标准 对于同一个未知参数不同的方法得到 的估计量可能不同于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1)无偏性 常用 标准(2)有效性 3)一致性
Ch7-46 §7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性
n7-4 无偏性 定义设(X1,X2…,Xn)是总体X的样本 0=0(X1,x2,…,Xn)是总体参数O的估计量 --1 E()存在且对于任意∈⊙都有 E()=6 则称O是的无偏估计量
Ch7-47 E( ˆ ) = 定义 设 ( , , , ) X1 X2 Xn 是总体X 的样本 ˆ (X1 , X2 , , Xn ) 是总体参数的估计量 = 则称 ˆ 是 的无偏估计量. ) 存在, ˆ E( 且对于任意 Θ 都有 无偏性
Ch7-48 例1设总体Y的k阶矩4=E(X)存在 (X1,X2…,Xn)是总体Y的样本, 证明:不论X服从什么分布,A=∑X 是μk的无偏估计量. 证由于E(x4)=Aki=1,2…,n因而 E(4)=E(∑X)=∑E(x) h:1k=1
Ch7-48 ( , , , ) X1 X2 Xn 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布, = = n i k k Xi n A 1 1 是 k 的无偏估计量. 证 = = = = n i k i n i k k i E X n X n E A E 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( 例1 设总体X 的 k 阶矩 ( ) k k = E X 存在 由于 E(Xi k ) = k i = 1,2, , n 因而 k k n n = = 1
Ch7-49 特别地 样本均值ⅹ是总体期望F(X)的 无偏估计量 样本二阶原点矩4=∑是总体 二阶原点矩p2=E(X2)的无偏 估计量
Ch7-49 特别地 样本二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 是总体 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量 二阶原点矩 2 = E(X 2 ) 的无偏 估计量
Ch7-50 例2设总体ⅹ的期望与方差存在,X的 样本为(X,X2…,X)(n>1).证明 (1)S2=∑(x-x不是D(X)的无偏估量 (2) yn ∑(X-是D(X)的无偏估计量. 证前已证∑(X-X)=∑x2-x2 1 E(X1)=E(X)=4,D(X)=D(x)=a2 E(X)=B(X)=,m
Ch7-50 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 ( , , , ) 样本为 X1 X2 Xn (n > 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; = = − n i n Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 证 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 X X n X X n n i i n i i − = − = = 前已证 证明 2 E(Xi ) = E(X ) = , D(Xi ) = D(X ) = n E X E X D X 2 ( ) ( ) , ( ) = = =