《复变函数论》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 解析函数的幂级数表示法

练习 1.判断下列级数的敛、散性。 (1)一 (2)∑2n n√n (3)∑ n=13n+1n (5)∑ (3+5 (6)∑ 1+5 返回 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 26 练习 1. 判断下列级数的敛、散性。 n i n n   1 2   ! 3 5 1 n i n n     3 n n i          2 1 5 1 1 返回          1 2 1 n n i n          1 1 n 3 n n n i            1 3 1 ! 2 1 n n i n n 4  5 6

∑ fn(=)在E上非一致收敛的充要条件是 彐E0对任意n∈N3n≥n,彐z∈E使 sn(=0)-f(=0 0 其中Sn(二)为部分和函数 返回 2021-2-22 复变函数 27

2021-2-22 复变函数 27 在E上非一致收敛的充要条件是 0   对任意n  N  o n >n,  z 0E 使   n  1 f z n   ( ) 0 0 0 s z f z n   0  其中 s n z  为部分和函数 返回

2幂级数 1幂级数的敛散性 2收敛半径R的求法 3幂级数和的解析性 练习 返回 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 28 1.幂级数的敛散性 2.收敛半径R的求法 3.幂级数和的解析性 2.幂级数 练习 返回 退 出

1幂级数的敛散性 1幂级数的敛散性 ∑Cn(=-ay=G+C(z-a)+C(=a)+…+C(-ay+…(43 作变换5=2-a—∑cn(z-a) 5=z-a ∑ 定理410若幂级数(43)在点=(关=)收敛,则其必在圆/阿 K:|z-a<z1-a内绝对收敛且内闭一致收敛 证yz∈K由∑Cn(-ay收敛,故其每项有界定 理 则Most.c(=)M(meN) (返回) 2021-2-22 复变函数

2021-2-22 复变函数 29 1.幂级数的敛散性      n1 n Cn z a             n C C z a C z a Cn z a 2 0 1 2 = (4.3) 作变换  z  a   n1   n n c z  a   n1 n n c    z  a 定理4.10 (4.3) z  a z  a 1 证  z  K 由      1 1 n n Cn z a 则  c z a M n n 1   (   阿 贝 尔 定 理 1.幂级数的敛散性 返回 a · 1z = K： < 内绝对收敛且内闭一致收敛 若幂级数 在点z1 a收敛，则其必在圆 收敛，故其每项有界 M>0 s.t . n N ) ﹒

2- 2-C C(2-a a n n ≤M 2-a<=1-a n C 一则等比级数∑收敛 则M=a为收敛的等比级数。因此∑C(=a z.al 在圆K内绝对收敛<利用正项级数收敛的比较判别法 2021-2-22 复变函数 口■30

2021-2-22 复变函数 30   n n c z  a   n n n z a z a c z a          1 1   n n c z  a 1 n z a z a  1 =  M n z a z a  1 z  a z  a 1  < z a z a  1  <1 n z a z a  1   n1 则等比级数 M n z a z a  1 则      n1 n Cn z a 在圆K内绝对收敛 利用正项级数收敛的比较判别法 = 收敛 为收敛的等比级数。 因此