定理42(柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点集E上一致 收敛于某函数的充要条件是:VE3N=(N,)使当n>N时, 对一切z∈E,有 =m(2)+fm(2)+…+fm()<E(p=123…) 推论(优级数准则)如果有正项级数∑Mn(n=123…) 使对一切Z∈E,有()≤Mn(n=1,2,3,…) 而且正项级数∑Mn收敛 n=1 则复函数项级数∑f()在集E上绝对收敛且一致收敛; 一称正项级数∑M为复函数项级数∑f(2)的优级数。 2021-2-22 复变函数 口■16
2021-2-22 复变函数 16 定理4.2 ( ) ( ) ( ) 1 2 f z f z f z n n n p < 推论 Mn f (z) n Mn 而且正项级数 n1 Mn 则复函数项级数 n n 1 f z n 且一致收敛； 称正项级数 n1 Mn n n 1 f z n (4.2) n n 1 收敛 的 优级数。 （柯西 一致收敛准则） 对一切z E, 有 收敛于某函数的充要条件是： 使当n>N时， 级数 在点集E上一致 NN, 使对一切Z E，有 （优级数准则）如果有正项级数 n 1,2,3, n 1,2,3, 在集E上绝对收敛 为复函数项级数 p 1,2,3,
例证明∑ 在1<2<2一致收敛。 n(n1+2)-z 证明:由于(n+23-2(+22 ≥(n+2-22n2 贝 n1+2)-z2n2 由优级数判别法可得结论 附注a+ba+ba=b 2021-2-22 复变函数 下17
2021-2-22 复变函数 17 例 n n 1 2 2 2 1 n z z 2 n 2 2 2 1 n z 2 1 n 则 附注： abab ab a b 证明： 由优级数判别法可得结论 证明 在 1 < <2 一致收敛。 2 2 (n2) 2 2 2 (n2) z 2 2 (n2) z 由于
例级数 ∑z”=1+z+2+…+z+ =0 在闭圆≤r(<1)上一致收敛 证明这是因为 二 R=1 一即所述级数有收敛的优级数∑r 说明 等比级数∑r"收敛令>” 2021-2-22 复变函数 口■18
2021-2-22 复变函数 18 例 n n n z z z z 2 0 1 在闭圆 z r (r<1) 证明 z z r n n n 即所述级数有收敛的优级数 n 1 n 等比级数 r n n 1 n r 收敛 < 级数 1 这是因为 上一致收敛 ﹒ R=1 r r 说明
定理46设级数∑f(z)各项在集E上连续,并且 致收敛于f(=),则和函数 f(=)=∑f(z) 也在点集E上连续 定理47设级数∑fn(z)的各项在曲线C上连续,并且在C上 一致收敛于f(=),则沿C可以逐项积分 f(=)z=∑/n(b n- (即和函数的积分等于每一项积分的和) 2021-2-22 复变函数 口■19
2021-2-22 复变函数 19 定理4.6 1 ( ) n n f z 各项在集E上连续， 一致收敛于 1 ( ) n n = f z 也在点集E上连续。 定理4.7 1 ( ) n n f z 一致收敛于 (即和函数的积分等于每一项积分的和） f z f z , 则和函数 f z , 则沿C 可以逐项积分： 设级数 的各项在曲线C上连续，并且在C上 设级数 并且 c f (z)dz f zdz n c n 1
定义45设函数f(=)(n=12,…)定义于区域D内,若级数 (42)在D内的任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在D内 内闭一致收敛。 定理48级数(42)在圆K:2-a<R内闭一致的充要条件为 Vp只要P<R 级数(42)在闭圆kp:2-a≤P 上一致收敛 证必要性因为k就是K内的有界闭集。 充分性因为圆K内的任意闭集F,总可以包含在K内 的某个闭圆kp上 显然,在区域D内一致收敛的级数 …”…… R 必在D内肉图一致,但反之不然 「反例就是几何级数 ∑z”=1+z+z2+…+z”+… n=0 复变函数 °(返回)20
2021-2-22 复变函数 20 定义4.5 f z n 定理4.8 (4.2) z a (4.2) (4.2) k z a 证 k k 显然，在区域D内一致收敛的级数 ，必在D内内闭一致，但反之不然 反例 就是几何级数 n n n z z z z 2 0 1 返回 ﹒ R a 内闭一致收敛。 在D内的任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在D内 设函数 ( n=1,2, )定义于区域D内，若级数 上一致收敛。 只要 <R ， 级数 在闭圆 : 级数 在圆K： <R 内闭一致的充要条件为： 的某个闭圆 上 充分性 因为圆K内的任意闭集F，总可以包含在K内 必要性 因为 就是K内的有界闭集