得出乘积级数 aB+(aB2+a2B1)+(a1B,+a2B2+a:B)+ 它收敛于AB 2021-2-22 复变函数 3
2021-2-22 复变函数 11 得出乘积级数 1 1 1 2 1 3 2 2 1 1 + + ） （ + 2 + 3 ）+ 它收敛于AB 返回 （ +
2.一致收敛的复函数项级数 定义4.3(函数项级数的收敛性)设复变函数项级数 f()+f2()+…+f,()+…(42 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(=),对于E上 一的每一点z,级数(42)均收敛于f(=),则称f(=)为级数(42) 的和函数记为 f(-)=∑f() 用E-N的语言来描述就是 VE>0,以及给定的z∈E,存在正整数N=N(,z),使当n>N时 有f(2)-Sn(2)<E 返回 2021-2-22 复变函数
2021-2-22 复变函数 12 2.一致收敛的复函数项级数 定义4.3 f z 1 f z 2 f z n + + (4.2) 的各项均在点集E上有定义， (4.2) (4.2) 的 n 1 f z n = 用 -N 的语言来描述 > 0, E, , 当n>N时 有 f z s z n ( ) < 返回 f z ,则称 f z 为级数 f z,对于E上 的每一点z， 和函数 记为 f z 就是： （函数项级数的收敛性） 设复变函数项级数 + + 且在E上存在一个函数 级数 均收敛于 以及给定的z 存在正整数N=N,z 使
其中Sn()=∑f() (称为部分和函数列) 上述的正数N=N(E,=),一般地说,不但依赖于E,而且一 依赖于z∈E。而我们要讨论一种重要的情形是N不依赖于z∈E 这就是一致收敛的概念 定义44对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(=) 使得对任意给定的E>0,存在正整数N=N()当n>N时, 有f(=)-Sn(=)<E(对一切的∈E) 则称级数(42)在E上一致收敛于f(=) 例在单位元 函数项级数 z+[z2-z)+[z3-z2)+…+ 1一 2021-2-22 复变函数 口■13
2021-2-22 复变函数 13 其中 sn z n n 1 f z = n (称为部分和函数列） 上述的正数 一般地说，不但 依赖于 依赖于z z 定义4.4 使得对任意 给定的 当n>N时， f z s z n ( ) < 则称级数 (4.2)在E上一致收敛于 (4.2) 在单位元 z z z 2 zz 3 z 2 z n z n1 f z N N ,z， 这就是 而我们要讨论一种重要的情形是N不依赖于 ，而且 E f z ， 如果在点集E上有一个函数 >0 ,存在正整数 N N 有 (对一切的z E) 例 <1, 函数项级数 E 。 一致收敛的概念 对于级数
收敛和函数为f()=0但此级数非一致收敛 一证明)s()=2+(x2-)+…(”-zn V,2<1,有 lim s()=m2=0 n→)0 f(=)=0 2)证明其不一致收敛 <1s,(=0)-0==0 VN,彐n0>N,取z ∈D +1 (z0)-0=zn=4= no 0n+1)1+ e 因此,该函数项级数在D:|2<1非一致收敛 2021-2-22 复变函数 ■■14
2021-2-22 复变函数 14 收敛和函数为 证明: sn z ( ) ( ) 2 1 n n z z z z z n z z, z 1, n lim n z =0 2) n n s z z 0 0 0 ( ) D n n N n N z 1 , , 0 0 0 取 0 ( 0) 0 0 sn z 0 1 0 0 n n n 0 0 1 1 1 n n z 1 = = > e 1 因此，该函数项级数在 z 1 f z = = 0 非一致 收敛 f z 0 但此级数 非一致收敛 1) lim s (z) n n 有 证明其不一致收敛 0 0 n = z D：
因为 单调增加且趋向于e) 说明: 由此例题可知,一致收敛是比收敛更强的概念, 要求对一致收敛概念有正确的理解,不仅要知道 其正面的叙述,而且还应该知道怎样否定一致收敛 即还要求知道怎样证明一个函数项级数或者函数 一列在一个集合或者区域非一致收敛 2021-2-22 复变函数 口■15
2021-2-22 复变函数 15 由此例题可知， n n 1 （因为 1 单调增加且趋向于e) 其正面的叙述， 要求对一致收敛概念有正确的理解， 一致收敛是比收敛更强的概念， 不仅要知道 而且还应该知道怎样否定一致收敛 说明： 即还要求知道怎样证明一个函数项级数或者函数 列在一个集合或者区域非一致收敛