第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程齐次方程二、三、一阶线性微分方程四、伯努利方程
第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程一阶微分方程的一般形式为dy或F(x,y,y)=0= f(x,y)dx形如dyf(x)g(y)(g(y) ± 0)dx的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程 F x y y ( , , ) 0 = 或 ( , ) dy f x y dx = 形如 ( ) ( )( ( ) 0) dy f x g y g y dx = 的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程． 一阶微分方程的一般形式为
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程右边分解成只含x的函数与只含，的函数的乘积，而左边是关于y的一阶导数.具体解法如下：(1）分离变量，将方程写成dy=f(x)dx的形式;g(y)(dy=[f(x)dx，设积分后得(2)两端积分：「G(y) = F(x)+C :则G(y)= F(x)+C称为隐式通解，隐式解有时可以化成显式解
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程 右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下： (1) 分离变量 将方程写成 1 ( ) ( ) dy f x dx g y = 的形式 (2) 两 端 积 分 1 ( ) ( ) dy f x dx g y = 设 积 分 后 得 G y F x C ( ) ( ) = + ； 则G y F x C ( ) ( ) = + 称为隐式通解，隐式解有时可以 化成显式解
二、齐次方程dy定义= f()的微分方程称为齐次方程形如dxxu=即y=xu,解法作变量代换xdudyutxdxdxduf(u),代入原式u+xdxdu即x变量可分离的微分方程f(u)-udx
二、齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 解法 作变量代换 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy = + ( ), du u x f u dx + = ( ) . du x f u u dx 即 = − 变量可分离的微分方程 定义 , x y u = ( ) dy y f dx x 形如 =
dudx分离变量得f(u)-uxduX=1 m-ICh-两边积分得TCf(u)-u71f（u）-即Cex=1u=再将代入上式得原方程的通解x
分离变量得 ( ) du dx f u u x = − 两边积分得 ln ln ln ( ) du x x C f u u C = − = − 即 ( ) du f u u x Ce − = ， 再将 x y u = 代入上式得原方程的通解