常微分方程定性理论简介 考虑如下形式的微分方程（组） dx =f(X) (X可以是向量) dt 称为自治系统（或自治方程组） 一阶微分方程的解的稳定性 dx dt =f(x) 平衡点（奇点） stationary point, f(x)=0的解x=xo singularity） (奇解、平衡解 ) 数学建模
常微分方程定性理论简介 一、一阶微分方程的解的稳定性 考虑如下形式的微分方程（组） ( ) ( dX f X X dt = 可以是向量) 称为自治系统（或自治方程组） 0 f x x x ( ) 0 = = 的解 平衡点（奇点） （stationary point, singularity) ( ) dx f x dt = （奇解、平衡解）
常微分方程定性理论简介 Logistic方程 di dt =2i(1-) 平衡点（奇点） i=0,i=1 i=0附近： di =i-2>0 i(t)远离0 dt i=附近：4=-a0-)-20-1y>0,《 dt <0,(i>1) i(t)→l(t>+o)川 款学建模
(1 ) di i i dt Logistic 方程 = − 平衡点（奇点） i i = = 0, 1 2 0 0 di i i i dt = = − 附近: 2 0, ( 1) 1 ( 1) ( 1) 0, ( 1) i i i i i = = − − − − di 附近: dt i t( )远离0 i t t ( ) 1( )!! → → + 常微分方程定性理论简介
常微分方程定性理论简介 一般地，若对于x。附近的初值，有limx()=x, 则称x是（渐近）稳定的；否则，是不（渐近）稳定 的。 (stable) (unstable) dt =2i(1-) i=0是不稳定的；i=1是稳定的 一般情况如何判别？ 教学建模
常微分方程定性理论简介 一般地，若对于 附近的初值，有 0 lim ( ) , t x t x →+ = 0 x 则称 是（渐近）稳定的；否则，是不（渐近）稳定 的。 0 x (1 ) di i i dt = − i = 0是不稳定的; i =1是稳定的. (stable) (unstable) 一般情况如何判别？
常微分方程定性理论简介 20 dx d =f(x) 将f(x)在x,处作泰勒展开，只取一次项，得 dx =f"(x)x-xo） (2 dt (2)称为(1)的近似线性方程。 若f'(x)>0,则x是不稳定的： 若f'(x)<0,则x是稳定的. 款学建模
常微分方程定性理论简介 ( ) (1) dx f x dt = 0 将 在 处作泰勒展开,只取一次项,得 f x x ( ) 0 0 ( )( ) (2) dx f x x x dt = − （2）称为（1）的近似线性方程。 结 论 0 0 0 0 ( ) 0, ( ) 0, f x x f x x 若 则 是不稳定的; 若 则 是稳定的