为了叙述方便，今后将环中加法的单位元记作0， 乘法的单位元记作1（对于某些环中的乘法不存在单位元）。 对环中的任何元素x,称x的加法逆元为负元，记作-x。 若x存在乘法逆元，则将它称为x的逆元，记为x。 用x-y表示x+(-y)。 n个x 用x表示x+x++,即的加法幂。 nx 用x"表示 XX.x, 即的乘法幂
为了叙述方便，今后将环中加法的单位元记作0， 乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。 对环中的任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作–x。 若x存在乘法逆元，则将它称为x的逆元，记为x –1 。 用x–y表示x(–y)。 用nx表示 ，即的加法幂。 用x n表示 ，即的乘法幂。 x + + + n个 x x x x ·· · n个 x x x
环的性质 定理12.1 设<A,十，>是环，则对任意的a,b,ceA, 下列结论成立： (1)0=0'=0 (2)m'(-b)=(-)b=-(b) (3)'(b-c)=(b)-(c) (b-c少=(ba)-(ca) (4)a,42,.an,b,b2.bnm∈R,(n,m≥2) 立26，-22a4
定理12.1 设A,＋,·是环，则对任意的a,b,cA， 下列结论成立： ⑴ a·0=0·a=0 ⑵ a·(–b)=(–a)·b =–(a·b) ⑶ a·(b–c)=(a·b)–(a·c) (b–c)·a=(b·a)– (c·a) ⑷ 环的性质 n i m j n i m j i j i j n m a b a b a a a b b b R n m 1 1 1 1 1 2 1 2 , , , , , ( , 2)
证明：(1)0+0=0='(0+0)=(a0)+(0) 由消去律得 a0=0 同理可证 00=0 (2)b+'(-b)='(b+(-b)=0=0,所以-(rb)=r(-b) 同理可证 -(ab)=(-0)b (3)a'(b-c)='(b+(-c)=(ab)+(c(-c)=(b)+(-(c) =(b)-(ac) (b-c)=(b+(-c)=(ba+(-c))=(ba)+(-(c) =(b'0)-(c)
证明：⑴ a·0+0=a·0=a·(0+0)=(a·0)+(a·0) 由消去律得 a·0=0 同理可证 0·a=0 ⑵ a·b+a·(–b)=a·(b+(–b))=a·0=0，所以 –(a·b)=a·(–b) 同理可证 –(a·b)=(–a)·b ⑶ a·(b–c)=a·(b+(–c))=(a·b)+(a·(–c))=(a·b)+(–(a·c)) =(a·b)–(a·c) (b–c)·a=(b+(–c))·a=(b·a)+((–c)·a)=(b·a)+(–(c·a)) =(b·a)–(c·a)
子环 定义12.2 设<A,十，>是环，S是A的非空子集。如 果<S,十，>也构成环，则称<S,十，>是环<A,十，>的子环。 如果<S,十，>是<A,十，>的子环，并且ScA,则称<S, 十，>是<A,十，>的真子环。 显然，有理数环<Q,十，>和整数环<，十，>是实数环 <R,十，>的子环，且是真子环。 根据子群和子半群的判定定理可得到子环的判定定 理
定义12.2 设A,＋,·是环，S是A的非空子集。如 果S,＋, ·也构成环，则称S,＋, ·是环A,＋,·的子环。 如果S,＋,·是A,＋,·的子环，并且SA，则称S, ＋,·是A,＋,·的真子环。 显然，有理数环Q,＋,·和整数环I,＋,·是实数环 R,＋,·的子环，且是真子环。 根据子群和子半群的判定定理可得到子环的判定定 理。 子环
子环判定理 定理12.2设<A,十，>是环，S是A的非空子集。如果 1)Va,b∈S,-b∈S (2)Va,b∈S,a'b∈S 则<S,十，>是<A,十，>的子环。 证明：Va,b∈S,a-b∈S,由子群判定定理知<S,十>是 <A,十>的子群，因而<S,十>是群。因为<A,十>是Abl群， 故<S,十>也是Abel群。 Va,b∈S,ab∈S根据半群判定定理知<S,>是半群。 乘法·对加法十的分配律在S中也成立。 所以，<S,十，>是环，因而<S,十，>是<A,十，>的子环
定理12.2 设A,＋,·是环，S是A的非空子集。如果 ⑴ a,bS，a–bS ⑵ a,bS，a·bS 则S,＋, ·是A,＋,·的子环。 证明：a,bS，a–bS，由子群判定定理知S,＋是 A,＋的子群，因而S,＋是群。因为A,＋是Abel群， 故S,＋也是Abel群。 a,bS，a·bS根据半群判定定理知S,·是半群。 乘法·对加法＋的分配律在S中也成立。 所以，S,＋,·是环，因而S,＋,·是A,＋,·的子环。 子环判定理