0 定理1.(Abel定理)若幂级数 ∑anx n=0 在x=0点收敛，则对满足不等式x<x 的一切x幂级数都绝对收敛 河风年足江 反之，若当x=x,时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的一切x,该幂级数也发散 收敛发散 】 发散 绝对收敛 发 散x HIGH EDUCATION PRESS 阿贝尔目录上页下页返回结束
发 散 绝对收敛 o 发 散 x 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.（Abel定理)若幂级数 ∑anx” n=0 在x=o点收敛，则对满足不等式x<x0 的一切x幂级数都绝对收敛 可@充11 反之，若当x=x,时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的一切x,该幂级数也发散 证：设∑anx收敛，则必有1 im anx6=0,于是存在 n=0 n-→00 常数M>0,使 anx6≤M(n=l,2,.) anx”1=a6 X ≤M xo HIGH EDUCATION PRESS 阿贝尔目录上页下页返回结束
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 =
x-ao.s 当公比1即<时”厂收敛 n=0 也收敛，故原幂级数绝对收敛 =0 反之，可用反证法证.若当x=x,时该幂级数发散， 假设有一点x,满足x,>x,且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾 故假设不真.证毕 收敛 发散 绝对收敛 发散发散x HIGH EDUCATION PRESS
当公比 即 x x0 时, 收敛 , 也收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 反之,可用反证法证. 0 若当 x = x 时该幂级数发散 , 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕 1 0 x x 发 散 绝对收敛 o 发散 发 散 x 1 x0 x 收敛
●文● 定理1.(Abe定理)若幂级数 ∑anx” n=0 在x=0点收敛，则对满足不等式x<xo 好贝不11 的一切x幂级数都绝对收敛 反之，若当x=x,时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的一切x,该幂级数也发散 00 Abel 定理得∑anx” 的收敛区间是以原点为中心的区间 n=0 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间 HIGH EDUCATION PRESS
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 Abel 定理得： 的收敛区间是以原点为中心的区间. n=0 n n a x x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间
推论 如果幂级数∑4nx”不是仅在x-0一点收敛也不 是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在 使得 当x←时，幂级数绝对收敛 当x>R时，幂级数发散 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间 HIGH EDUCATION PRESS
x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区间 发散区间 发散区间 推论 如果幂级数 不是仅在x=0一点收敛,也不 是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在， 使得 当|x|<R时，幂级数绝对收敛; 当|x|>R时，幂级数发散; 当x=R与x= -R时，幂级数可能收敛也可能发散. n n a x