即0<nxn<8。4.若对任意s>0和任意正整数p，存在N(s,P)，使得I X+ + Xn+2 +... + X+p/<e对一切n>N成立，问级数x，是否收敛？n=l解级数之x不一定收敛。二例如：级数≥×=2发散，但对任意6>0和任意正整数p，取n=in=lN(s,p)=P, 当n>N(s,p)时,++ +X+2 +..+Xn+p6。ntl5.若级数x，收敛，lim==1，问级数y，是否收敛？=n-→" ynZy，不一定收敛。解n=l反例：x,=(-1)1(-1)"+I1=1，但级数则limx收n=JnVnnyn敛，而级数y，发散。=6.设x≥0，limx,=0，问交错级数(-1)"+1x.是否收敛?2(-1)x,不一定收敛。解n=l[n=2kk则x,≥0，lim x,=0，但≥(-1)*+x,发反例：x1n=2k-12散。-7.设正项数列(x,)单调减少，且级数之(-1)"x发散。问级数）1+x是否收敛？并说明理由。6
即 < < ε 0 nxn 。 4. 若对任意ε > 0和任意正整数 p，存在 N(ε , p) ，使得 ｜ x n+1 + xn+2 + . + xn+ p｜< ε 对一切 n＞N 成立，问级数∑ 是否收敛？ ∞ n=1 n x 解 级数∑ 不一定收敛。 ∞ n=1 n x 例如：级数∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ = = 1 1 n n 发散，但对任意ε > 0和任意正整数 p，取 ε ε p N( , p) = ，当n > N(ε , p)时， < ε + + + + + + + < 1 1 2 n p x x x n n " n p 。 5. 若级数∑ 收敛， ∞ n=1 n x lim n→∞ n n y x = 1，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n y 解 ∑ 不一定收敛。 ∞ n=1 n y 反例： n x n n 1 ( 1) + − = , n n y n n ( 1) 1 1 + − = + ，则lim n→∞ n n y x = 1，但级数 收 敛，而级数 发散。 ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 6. 设 ≥ 0， = 0，问交错级数 是否收敛? n x lim n→∞ n x n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 解 ∑ 不一定收敛。 ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n x 反例： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = 2 1 1 2 1 2 n k k n k k xn ，则 xn ≥ 0，lim n→∞ 0 n x = ，但 发 散。 n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 7. 设正项数列{xn }单调减少，且级数∑ 发散。问级数 ∞ = − 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 是否收敛？并说明理由。 6
解级数收敛。(1+x,因为正项数列(x,)单调减少，所以必定收敛。如果limx，=0，则(-1)"x，是Leibniz级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有因此limx=α>0，于是当n充分大时d.1收敛。8.设级数之收敛，则当α>α时，级数也收敛。inn112-2(由于收敛，单调有界，利用证na-daa-an=ina=n%=InoAbel判别法，可知级数之收敛。ina注本题也可利用Dirichlet判别法证明。9.若（nx,）收敛，n(x,-xn--)收敛，则级数x,收敛。V4=2二1证令a=xb=l，则Bk=b,=k。利用Abel变换，得到i=l2x=mk(xk+)1-x) Kk=l由于Zn(xn+1 -xn) = >Z[(n + 1)(xn+1 - xn) .n=ln=l因为数列单调有界，级数(n+1)(x+1-x,)=n(x,-xa-)收敛，n+]=1≥mx-x,）)收敛。再由数列（nx,）的收敛性，即可由Abel判别法，n=l知级数之x，收敛。n=l7
解 级数∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 收敛。 因为正项数列 单调减少，所以必定收敛。如果 ，则 是 Leibniz 级数，因此收敛，与条件矛盾，所以必定有 { }n x lim = 0 →∞ n n x ∑ ∞ = − 1 ( 1) n n n x lim = > 0 →∞ n α n x ，于是当n充分大时， n n n x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 1 1 α ，因此∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 收敛。 8. 设级数∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛，则当α > α 0时，级数∑ ∞ n=1 n n x α 也收敛。 证 ∑ ∞ n=1 n n x α ) 1 ( 1 ∑ 0 0 ∞ = − = ⋅ n n n n x α α α , 由于 ∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − 0 1 α α n 单调有界，利用 Abel 判别法，可知级数∑ ∞ n=1 n n x α 收敛。 注 本题也可利用 Dirichlet 判别法证明。 9. 若｛nxn｝收敛，∑ 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∑ ∞ n=1 n x 证 令a x n n = , bn =1, 则B b k 。利用 Abel 变换，得到 k i k ∑ i = = = 1 ∑ ∑ 。 = − = = − + − n k n k k n k k x nx k x x 1 1 1 1 ( ) 由于 ∑ ∞ = + − 1 1 ( ) n n n n x x ] 1 [( 1)( ) 1 1 + = ∑ + − ⋅ ∞ = + n n n x x n n n ， 因为数列 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n +1 n 单调有界，级数 收敛， 由 Abel 判别法，∑ 收敛。再由数列｛ ｝的收敛性，即可 知级数 收敛。 ∑ + − = ∞ = + 1 1 ( 1)( ) n n n n x x ∑ ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∞ = + − 1 1 ( ) n n n n x x nxn ∑ ∞ n=1 n x 7