习题12.6无条件极值讨论下列函数的极值：1.(1)f(x,J)=x4 +2y4-2x2-12y2 +6;(2) f(x,y)=x4 +y4-x? -2xy- y :(3) f(x,y,2)= x2 + y2 -22;(4) f(x,y)=(y-x)(y-x);(5）(c)=y++，其中常数a>0.b>0;x"y(6) (x,y,2)=x++三+2(x,y,z>0 )。xyz解（1）先求驻点。由[f =4x3-4x=0[U,=8y -24y=0解得x=0,±1; y=0,±V3,即函数有9个驻点。再由=4(3x2-1)，f，=0，J,=24(y2-1)，可知H = 96(3x2 -1)(y2 -1) 。应用定理12.6.2。驻点(0.0)，(1.V3)，(1-V3)，(-1V3)，(-1-V3)满足H>0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据F的符号，可知函数在(0,0)点取极大值6；在(1,V3)，(1-V3)，(-1,V3)，(-1,-V3)四点取极小值-13。注本题可使用配方法得到f(x, y) =(x2 -1)2 + 2(y2 - 3)2 -13 ,由此易知(1,V3)，(1,-V3)，(-1,V3)，(-1,-V3)四点为函数的最小值点，最小值为-13，函数无最大值，（0.0)点为函数的极大值点，极大值为6。（2）先求驻点。由145
习题 12.6 无条件极值 1． 讨论下列函数的极值： （1） f (x, y) = x 4 + 2y 4 − 2x 2 −12y 2 + 6； （2） f (x, y) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 ； （3） f (x, y,z) = x 2 + y 2 − z 2 ； （4） f (x, y) = ( y − x 2 )( y − x 4 )； （5） y b x a f x y xy 3 3 ( , ) = + + ，其中常数a > 0, b > 0； （6） y z z x y f x y z x 2 ( , , ) = + + + （ x, y,z > 0）。 解 (1) 先求驻点。由 3 3 4 4 0 8 24 x y f x x f y y ⎧⎪ = − = ⎨ ⎪ = − = ⎩ 0 ， 解得 x y = ± 0, 1; = ± 0, 3 ， 即函数有 9 个驻点。再由 2 4(3 1) xx f = x − ， 0 xy f = ， 2 24( 1) yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 96(3 1)( y −1)。 应用定理 12.6.2。驻点(0,0) ，(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)满 足H > 0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据 xx f 的符号， 可知函数在(0,0) 点取极大值6；在(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四 点取极小值−13。 注 本题可使用配方法得到 2 2 2 2 f x( , y) = − (x 1) + 2( y − 3) −13， 由此易知(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四点为函数的最小值点， 最小值为−13，函数无最大值，(0,0) 点为函数的极大值点，极大值为6。 （2）先求驻点。由 145
[f,=4x -2x-2y=0[U,=4y3-2x-2y=0两式相减，可解得x=y=0,±1，即驻点为(0,0)，(1,1)，（-1,-1)三点。再由fx=12x2-2，J,=-2，J,=12y2-2，可知H = 4(6x2 -1)(6y2 -1)-4 。应用定理12.6.2。驻点(1,1)，(-1,-1)满足H>0，所以是极值点，再根据f的符号，可知函数在(1,1)，(-1,-1)两点取极小值-2。在(0,0)点，有H=0，且f(0,0)=0。由于f(x,x)=2x(x2-2)，f(x,-x)=2x，可知函数在(0,0)点附近变号，所以(0,0)不是极值点。（3）先求驻点。由[f =2x= 0f,=2y=0,[J.=-22=0解得(0,0,0)是唯一的驻点。由f(0,0,0)=0，f(x,y,0)=x+y2，f(0,0,2)=-22，可知函数在(0,0,0)点附近变号，即(0,0,0)不是极值点，所以函数无极值点。注对于二次多项式f(x)，xeR"，它的Hesse矩阵H是常数矩阵，我们有如下结论：设x为f(x)的驻点，则由f(x)-f(x)=(x-xo)）H(x-x)可知（a）f(x)为最小值的充分必要条件是H为半正定矩阵；（b）f(x)为最大值的充分必要条件是H为半负定矩阵；（c）f(x）不是极值的充分必要条件是H为不定矩阵。本题由于函数f(x,y,2)的Hesse矩阵为不定矩阵，所以(0,0,0)不是f(x,y,z)的极值点。146
3 3 4 2 2 4 2 2 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − − = ⎨ ⎪ = − − = ⎩ 0 0 ， 两式相减，可解得 x y = = 0,±1，即驻点为(0,0) ，(1,1)，(−1,−1)三点。再 由 f xx = − 12x 2 2， f xy = −2， 2 12 2 yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 4(6 1)(6y −1) − 4。 应用定理 12.6.2。驻点(1,1)，(−1,−1)满足 ，所以是极值点，再 根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在(1,1)，(−1,−1)两点取极小值−2。 在 (0,0) 点，有 H = 0 ， 且 f (0,0) = 0 。由于 f x( , x) = − 2x 2 2 (x 2) ， 4 f ( , x x − =) 2x ，可知函数在(0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （3）先求驻点。由 2 0 2 0 2 0 x y z f x f y f z ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ = − = ， 解 得 (0,0,0) 是唯一的驻点。由 f (0,0,0) = 0 ， 2 ( , ,0) 2 f x y = + x y ， 2 f (0,0,z) = −z 0 ) ，可知函数在 点附近变号，即( 不是极值点， 所以函数无极值点。 (0,0,0) 0,0,0) 注 对于二次多项式 ， ，它的 Hesse 矩阵 H 是常数矩 阵，我们有如下结论： f (x) n x ∈ R 设 x0为 f (x)的驻点，则由 f f (x) − = (x0 0 ) ( ) x x − T H (x x − 可知 （a） f (x0 )为最小值的充分必要条件是 H 为半正定矩阵； （b） f (x0 )为最大值的充分必要条件是 H 为半负定矩阵； （c） f (x0 )不是极值的充分必要条件是 H 为不定矩阵。 本题由于函数 的 Hesse 矩阵为不定矩阵，所以 不是 的极值点。 f x( , y,z) (0,0,0) f x( , y,z) 146
（4）先求驻点。由[f, = 2x(3x4 -2yx2 - J) = 0J, =2y-x2-x=0+1￥3即驻点为(0,0)，(1,1)，(-1,1)，解得x=y=0;x=±l,y=l;x=±V8五点。再由J=30x*-12yz-2y，J,=-2x-4x，和(-2828Jg=2，可知H = 2(30x4-12yx2-2y) -(2x+4x3)2。应用定理12.6.2。驻点(号3),(-.)满足H>0，所以是极值点，，（2828再根据的符号，可知函数在(，（)取极小值-六642828在(1,1)，(-1,1)点H<0，所以(1,1)，(-1,1)不是极值点。在(0,0)点H=0，且f(0,0)=0。由于f(x,x)=-x(1-x)，易知函数在(00)点附近变号，所以(0,0)不是极值点。（5）先求驻点。由Q3x2b3:0=y22a32b3沙解得是唯一的驻点。再由可知fu=1,f.3,by3a4a'b3H=1ry3应用定理12.6.2。由于在驻点有H>0，再根据.的符号，147
（4）先求驻点。由 4 2 2 4 2 (3 2 ) 0 2 0 x y f x x yx y f y x x ⎧⎪ = − − ⎨ ⎪ = − − = ⎩ = ， 解得 x y = = 0 ; x = ± = 1, y 1 ; 1 , 2 8 x = ± y = 3 ，即驻点为(0,0) ，(1,1)，( 1− ,1) ， ) 8 3 , 2 2 ( 和 ) 8 3 , 2 2 (− 五点。再由 4 2 30 12 2 xx f x = − yx − y ， 3 2 4 xy f = − x − x ， f yy = 2，可知 4 2 H x 2(30 12yx 2y) 3 2 = − − − + (2x 4x ) 。 应用定理 12.6.2。驻点 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 满足 ，所以是极值点， 再根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 取极小值 1 64 − 。 在(1,1)，( 1− ,1) 点H < 0，所以(1,1)，( 1− ,1) 不是极值点。 在(0,0) 点H = 0，且 f (0,0) = 0。由于 3 5 ( , ) (1 ) 2 f x x = −x − x ，易知函数在 (0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （5）先求驻点。由 3 2 3 2 0 0 x y a f y x b f x y ⎧ = − = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = − = ⎪⎩ ， 解得 2 2 , a b b a ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟是唯一的驻点。再由 3 3 2 xx a f x = ， 1 xy f = ， 3 3 2 yy b f y = ，可知 3 3 3 3 4 1 a b H x y = − 。 应用定理 12.6.2。由于在驻点 2 2 , a b b a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 有H > 0，再根据 xx f 的符号， 147
b?q2-可知函数在）点取极小值3ab。bq（6）先求驻点。由=0f =x2=0,yx12=0厂2[2,2,2]。由于函数在[2,2,2)解得唯一的驻点|点的Hesse矩阵2元011-22-2-1是正定的，所以函数在(2422,24)取极小值4.24272-102.设f(x,y,2)=x2+3y2+2z2-2xy+2xz，证明函数f的最小值为0。证先求驻点。由f,=2x-2y+2z=0f,=6y-2x=0(J.=4z+2x=0-22是解得唯一驻点(0.0.0)，由于函数在(0.0.0)点的Hesse矩阵60024正定的，所以函数在(0,0,0)点取极小值f(0,0,0)=0。注本题可使用配方法得到1:(x-2y)2 +(x+22)2 +f(x,y,2)=n由此可知函数在(0,0,0)点取最小值f(0,0,0)=0。3.证明函数f(x,y)=(1+e")cosx-ye有无穷多个极大值点，但无极小值点。证由[f(x,y)=-(1+e'")sinx=0f,(x,y)=e"cosx-(1+y)e"=0"148
可知函数在( , ) 2 2 a b b a 点取极小值3ab。 （6）先求驻点。由 2 2 2 1 0 1 0 1 2 0 x y z y f x z f x y f y z ⎧ ⎪ = − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎪ = − = ⎩ ， 解得唯一的驻点 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 。由于函数在 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 点的 Hesse 矩阵 3 1 4 2 1 1 2 4 1 1 1 4 2 2 0 2 2 2 0 2 2 − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − ⎟是正定的，所以函数在(2 ,2 ,2 ) 4 3 2 1 4 1 取极小值 1 4 4 2⋅ 。 2．设 f (x, y,z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz，证明函数 f 的最小值为0。 证 先求驻点。由 2 220 6 2 0 4 2 0 x y z f x y z f y x f z x ⎧ =−+ = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = + = ， 解得唯一驻点 ，由于函数在( 点的 Hesse 矩阵 是 正定的，所以函数在 点取极小值 (0,0,0) 0,0,0) 2 2 2 2 6 0 2 0 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0,0,0) f (0,0,0) = 0。 注 本题可使用配方法得到 1 1 2 2 ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 1 2 2 f x y z = −x y + x + z + y ， 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值 f (0,0,0) = 0。 3. 证明函数 有无穷多个极大值点，但无极小值 点。 y y f (x, y) = (1+ e )cos x − y e 证 由 ( , ) (1 e )sin 0 ( , ) e cos (1 ) e 0 y x y y y f x y x f x y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 148
解得x=k元，y=cosk元-1，所以驻点为(k元,cosk元-1)，k=0,±1,±2,...。由fa=-(1+e")cosx，J,=-e'sinx，J,=e'cosx-(2+y)e'，可知在驻点（k元，cosk元-1)处，H = cos kπ(l+e')e",所以当k为奇数时H<0，（k元,cosk元-1)不是极值点；当k为偶数时H>0，再由f.<0，可知(k元,cosk元-1)是极大值点。所以函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。4.求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域D=((x,y)|x≥0, y≥0,x+ y≤2元)上的最大值与最小值。解由[J, = cosx-cos(x+ y)= 0(, =cos y-cos(x+y)= 0 '得到cosx=cos y=cos(x+y)。在D=(x,y)/0<x,y<x+y<2元)上考虑,得到x=y=2元-x-y，即(元,2元()是函数在区域内部唯一的驻点。由于在区域边界上，即当x=0或y=0或x+y=2元时，有f(x,y)=0，而在区域内部唯一的驻点上取值为1)-、>0，根据闭区域上连续33″2函数的性质，可知函数的最大值为-，最小值为=0。25.在[0,1]上用怎样的直线=ax+b来代替曲线y=x2，才能使它在平方误差的积分J(a,b) = [(y-) dx为极小意义下的最佳近似。解 J(a,b)=I'(cx2-ax-b)d=1-号+(a2 -2b)+ab+b523(2是a,b的二次多项式，它的Hesse矩阵3是正定的，所以有最小(12)值（见第1题（3）的注）。对参数a,b求导，149
解得 x k = π , y = cos kπ −1，所以驻点为 ( , kπ cos kπ −1) ，k = 0,± ± 1, 2,"。 由 f xx = −(1+ ey ) cos x， sin y xy f = −e x， e cos (2 ) e y y yy f = −x + y ，可知在 驻点( , kπ cos kπ −1) 处， cos (1 ) y y H k = π + e e ， 所以当 k 为奇数时H < 0，( , k k π cos π −1) 不是极值点；当 k 为偶数时 H > 0，再由 0 xx f < ，可知( , k k π cos π −1) 是极大值点。所以函数有无穷 多个极大值点，但无极小值点。 4．求函数 f (x, y) = sin x + sin y − sin(x + y)在闭区域 D = {(x, y)| x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2π} 上的最大值与最小值。 解 由 cos cos( ) 0 cos cos( ) 0 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 得到cos x = = cos y cos(x + y) 。在D = < {( , x y)| 0 x y, < x + y < 2π} D 上考虑， 得到 x = = y 2π − x − y ，即 2 2, 3 3 π π ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 是函数在区域内部唯一的驻点。由 于在区域边界上，即当 x = 0或 y = 0或 x y + = 2π 时，有 ，而在 区域内部唯一的驻点上取值为 f x( , y) = 0 2 2 3 3 ( , ) 3 3 2 f π π = > 0，根据闭区域上连续 函数的性质，可知函数的最大值为 2 3 3 fmax = ，最小值为 fmin = 0。 5．在[0,1]上用怎样的直线ξ = ax + b 来代替曲线 ，才能使它在平 方误差的积分 2 y = x ∫ = − 1 0 2 J (a,b) ( y ξ) dx 为极小意义下的最佳近似。 解 1 2 2 0 J a( ,b) = − (x ax −b) dx ∫ 1 1 2 2 ( 2 ) 523 a = − + a b − + ab + b 是a,b的二次多项式，它的 Hesse 矩阵 2 1 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 是正定的，所以有最小 值（见第 1 题（3）的注）。对参数a,b求导， 149