复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十二章 多元函数的微分学 12.3 Taylor公式 12.4 隐函数

习题12.3Taylor公式1.对函数f(x,y)=sinxcosy应用中值定理证明：存在ae(o,1)，使得3元。元0sinsincoco4-3℃553$66m3sm6证设(xo,y)=(0,0), (Ax,Ay)=(元)，对函数f(x,J)=sinxcosy应用微分O中值定理（即k=0时的Taylor公式），可知存在ee(0,1)，使得-= ()- (. 0)= I(OAx, OA)AX + J,(OAx,A)A4y3'64sino.cos0.co_sin。CO1r3℃66sm33℃62.写出函数f(x,y)=3x3+y3-2x2y-2xy2-6x-8y+9在点(1,2)的Taylor展开式。解f(x, y) = 3[(x -1)+1} +[(y - 2)+ 2} - 2[(x -1)+1}[(y- 2)+2]-2[(x -1)+1][(y - 2)+2]° -6[(x -1)+1]- 8[(y - 2)+2]+ 9=-14-13(x-1)-6(y-2)+ 5(x-1)2 -12(x-1)(y- 2)+ 4(y-2))+3(x-1)3 -2(x -1)?(y- 2)- 2(x-1)(y- 2)? +(y- 2)3。注本题也可设u=x-l,v=y-2，于是f(x,y)= f(u+l,v+2)= 3(u+1)3 +(v+2)3 -2(u+1)*(v+2)-2(u+1)(v+2)2-6(u+1)-8(v+2)+9 ,展开后再用u=x-1,v=y-2代换回来。3.求函数f(x,y)=sinxln(1+y)在(0,0)点的Taylor展开式（展开到三阶导数为止）。x-+o(r)(y-兰+解f(x,y)=(x+o(y)236x2 +o((/x2 +y3))xy4.求函数f(x,y)=e*y在(0,0)点的n阶Taylor展开式，并写出余项。解 f(x,y)=1+(x+y)+(x+y)? +....(x+y)"+Rn,2n!

习 题 12.3 Taylor 公式 1. 对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用中值定理证明：存在θ ∈ (0, 1)，使得 6 sin 3 sin 6 6 cos 3 cos 4 3 3 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 证 设 0 0 ( , ) (0,0), ( , ) ( , ) 3 6 x y x y π π = ∆ ∆ = ，对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用微分 中值定理（即k = 0时的 Taylor 公式），可知存在θ ∈ (0, 1)，使得 3 (,) (0,0) 4 3 6 f f π π = − = ( , ) ( , ) x y f θ∆x y θ θ ∆ ∆x + f ∆x y θ∆ ∆y cos cos sin sin 3 3 6 6 3 6 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 2. 写出函数 在点 的 Taylor 展开式。 ( , ) 3 2 2 6 8 9 3 3 2 2 f x y = x + y − x y − xy − x − y + (1,2) 解 3 3 2 f x( , y) = − 3[(x 1) +1] +[( y − 2) + 2] − − 2[(x 1) +1] [( y − 2) + 2] 2 − − 2[(x y 1) +1][( − 2) + 2] −6[(x y − + 1) 1]−8[( − 2) + 2]+ 9 2 2 = −14 −13(x y −1) − 6( − 2) + 5(x −1) −12(x −1)( y − 2) + 4( y − 2) 3 2 2 3 + 3(x −1) − 2(x −1) ( y − 2) − 2(x −1)( y − 2) + ( y − 2) 。 注 本题也可设u x = −1, v = y − 2 ，于是 f x( , y) = + f (u 1, v + 2) 3 3 2 2 = + 3(u v 1) + ( 2 + ) − + 2(u 1) (v + 2) − 2(u +1)( 2 v + ) − 6(u +1) −8( 2 v + ) + 9， 展开后再用u x = −1, v = y − 2 代换回来。 3. 求函数 在 点的 Taylor 展开式（展开到三阶 导数为止）。 f (x, y) = sin x ln(1+ y) (0,0) 解 3 2 3 3 3 ( , ) ( ( ))( ( )) 6 2 3 x y y f x y = −x + o x y − + + o y ( ) 1 2 2 2 ( ) 2 = − xy xy + o x + y 3 。 4. 求函数 f (x, y) = ex+ y 在(0,0) 点的n阶 Taylor 展开式，并写出余项。 解 n n x y R n f x y = + x + y + x + y + + ( + ) + ! 1 ( ) 2! 1 ( , ) 1 ( ) 2 " , 1

其中R.x+(n+1)!5. 设f(x,y)=cosy,x>0。x（1）求f(x,)在(1,0)点的Taylor展开式（展开到二阶导数），并计算余项R；(2）求f(x,y)在(1,0)点的k阶Taylor展开式，并证明在(1,0)点的某个领域内，余项R满足当k→8时，R→0。解(1) f(x,J)=1-(x-1)+(x-1)2y2 + R22dCR.f(1+0(x-1),0y)31ovcosnsinncosnsinn-Dy+-12X54532526E其中=1+0(x-1)，n=y，0<<1。2[-2c;(-1)"- (n - j)lcos(元)(x-1)"-/ y)]+ Rx ,(2) f(x,y)=1+台n=1k+ZCk+1(-1)+I- (k +1- j)!-元)(x - 1)k+1-R,==k-J+2 COS(n+(k + 1)/ j=0当x=1时，=1，对任意ye(-0,+o0)，Rk→0(k→)显然成立；2<5<4,x-1l当0x-1k时，于是对任意yE(-0,+)，有3323(k +1)!11k+1[R(k +1-j)!15/-2 x-1++/1yP(k + 1) /=0 jl(k +1- j)“11x-1x-≤周1上二01x-1因此也成立Rk→0（k→8）。6.利用Taylor公式近似计算8.962.03（展开到二阶导数）。解考虑f(x,J)=(9+x)2+在(0,0)点的Taylor公式：81.In29y?+R(x,y),f(x,j)=81+18x+81ln9y+x2+(9+18ln9)xy+2于是8.962.03= f(0.04,0.03) = 81+18(0.04)+ 81ln9·0.032

其中 1 ( ) ( ) ( 1)! 1 n x y n x y e n R + + + + = θ 。 5. 设 , 0 cos ( , ) = x > x y f x y 。 （1） 求 在 点的 Taylor 展开式（展开到二阶导数），并 计算余项 ； f (x, y) (1,0) R2 （2） 求 在 点的k 阶 Taylor 展开式，并证明在 点的某 个领域内，余项 满足当 f (x, y) (1,0) (1,0) Rk k → ∞时，Rk → 0。 解 （1） 2 2 2 2 1 f (x, y) = 1− (x −1) + (x −1) − y + R ， 3 2 1 ( 1) (1 ( 1), 3! R x y f x ) x y θ θ y ⎡ ⎤ ∂ ∂ = − + + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ 3 2 2 4 3 2 cos sin cos sin ( 1) ( 1) ( 1) 2 6 3 x x y x y y η η η ξ ξ ξ = − − − − + − + η ξ ， 其中ξ = 1+θ (x −1) ，η = θ y ，0 < θ < 1。 （2） ∑ ∑ = − − = = + − − − + n j k j n j n j j n k n x y R j C n j n f x y 1 0 )( 1) ] 2 ( 1) ( )!cos( ! 1 ( , ) 1 [ π ， ∑ + = + − − + + − + − + − + − + = 1 0 1 2 1 1 )( 1) 2 cos( 1 ( 1) ( 1 )! ( 1)! 1 k j k j j k j j k j k k x y j C k j k R η π ξ 。 当 x = 1时，ξ = 1，对任意 y ∈ (−∞,+∞)，Rk → 0 (k → ∞) 显然成立； 当 3 1 0 <| x −1|< 时， 3 4 3 2 < ξ < ， 2 1 1 < − ξ x ，于是对任意 y ∈ (−∞,+∞)，有 ∑ + = + − − + + − − + − + + ≤ 1 0 1 2 | 1| | | | | 1 ( 1 )! !( 1 )! ( 1)! ( 1)! 1 | | k j k j j k j k k j x y j k j k k R ξ j k j k j y x j + − + = ∑ − = 1 1 0 1 ! 1 1 ξ ξ j j k x y j x ∑ ∞ = + − − ≤ 0 1 ! 1 1 1 1 ξ ξ ξ 1 1 1 1 − + − = x k y e x ξ ξ ξ ， 因此也成立 → 0（ ）。 Rk k → ∞ 6. 利用 Taylor 公式近似计算8.962.03（展开到二阶导数）。 解 考虑 2 ( , ) (9 ) y f x y x + = + 在(0,0)点的 Taylor 公式: 2 2 2 2 81 ( , ) 81 18 81ln 9 (9 18ln 9) ln 9 ( , ) 2 f x y = + x + y + x + + xy + y + R x y ， 于是 2.03 8.96 = f ( 0− .04,0.03) ≈ + 81 18(−0.04) + 81ln9⋅0.03 2

+(-0.04) +(9+18ln9)-(-0.04)-0.03+81/2· In2(9)-0.033~85.74。7.设f(x,y)在R2上可微。1,与I,是R2上两个线性无关的单位向量（方向)。若%(,)=0,i=1,2,al,证明：在R2上f(xy)=常数。证设=(cosα,sinα)，=(cosαz,sinα）。由于f(x,)在上可微，%( )= f(x, )cosa4 + f(x,y)sing =0,al,%(,) ( )os+ (,)sin: 0.al因为1,与1,线性无关，所以cosaysina￥0cosazsina,因此上面的线性方程组只有零解，即fl(x,y)=0,J,(x,y)=0 。于是由推论12.3.1知道f(x,y)=常数。8.设f(x,y)=sin（x±0），证明：Yaaf(x,y)=0, k≥1。axOy证因为rf(x,y)= x.cos1avOxXY所以当k>1时成立o+) (x)(f(x,y)=0++V-1araxaxn3

2 2 +(-0.04) +(9+18ln9)⋅ ⋅ (-0.04) 0.03+81/2⋅ln (9)⋅0.032 ≈85.74。 7．设 f (x, y)在 2 R 上可微。l1与l2 是 2 R 上两个线性无关的单位向量（方 向）。若 ( , ) ≡ 0 ∂ ∂ x y l f i ， i = 1,2 ， 证明：在 2 R 上 f (x, y) ≡ 常数。 证 设 1 1 1 l = (cosα ,sinα ) 2 2 2 (cos ,sin )。由于 f (x, y)在 2 ，l = α α R 上可微， 1 1 1 ( , ) ( , ) cos ( , )sin 0 x y f x y f x y f x y l α α ∂ = + ∂ ≡ ， 2 2 2 ( , ) ( , ) cos ( , )sin 0 x y f x y f x y f x y l α α ∂ = + ∂ ≡ 。 因为l1与l2 线性无关，所以 1 1 2 2 cos sin 0 cos sin α α α α ≠ ， 因此上面的线性方程组只有零解，即 ( , ) 0 x f x y ≡ ， ( , ) 0 y f x y ≡ 。 于是由推论 12.3.1 知道 f (x, y) ≡ 常数。 8．设 x y f (x, y) = sin （ x ≠ 0），证明： ( , ) ≡ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ f x y y y x x k ，k ≥ 1。 证 因为 2 1 ( , ) cos cos 0 y y y x y f x y x y x y x x x x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⋅ ≡ , 所以当k >1时成立 ( , ) k x y f x y x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∂ 1 ( , ) 0 k x y x y f x y x y x y − ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ≡ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ 。 3

习题12.4隐函数1.求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)siny+e'-xy=0，求;dx求(2) x=y,dx:求=arctan之，(3) In/x2+y2dxx兴和x+y_=0,求(4)arctandxs;dxaq求品和二=ln三，>(5)ayax2ya2z02az我和(6)e -xyz=0,ar'x2ayaxaya’202求Oz和(7)=3-3xyz=a3,）2aax'ay'axay我和O(8))f(x+y,y+z,z+x)=0,ax和我=禾(9) z=f(xz,z-),)ars;arayOz求心和“(10) f(x,x+y,x+y+2)=0,ax'ayax?axoy解（1)设F(x,y)=siny+e-xy?=0，则y?-erd--FdxFcosy-2xy(2)设F(x,y)=x-y"=0，则dy_-_F_y(xlny-y)dx=F,x(ylnx-x)注本题也可先在等式x=y两边取对数，然后设G(x,y)= ylnx-xln y=0 。(3）设F(x,y)=ln/x+y-arctan=0，则xdy--F_x+ydx-Fx-y4

习 题 12.4 隐函数 1． 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数： （1）sin y + ex − xy 2 = 0，求 x y d d ； （2） x y = y x ，求 x y d d ； （3） x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 x y d d ； （4）arctan − = 0 + a y a x y ，求 x y d d 和 2 2 d d x y ； （5） ln x z z y = ，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （6）ez − xyz = 0，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （7） z 3 − 3xyz = a 3 ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 ； （8） f (x + y, y + z,z + x) = 0，求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； （9） z = f (xz,z − y) ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ 和 2 2 x z ∂ ∂ ； （10） f (x, x + y, x + y + z) = 0，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ ， 2 2 x z ∂ ∂ 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 解 （1）设 ，则 2 ( , ) sin 0 x F x y = +y e − xy = 2 cos 2 x x y dy F y e dx F y xy − = − = − 。 （2）设 ( , ) 0，则 y x F x y = − x y = ( ln ) ( ln ) x y dy F y x y y dx F x y x x − = − = − 。 注 本题也可先在等式 x y = y x 两边取对数，然后设 G x( , y) =−= y ln x x ln y 0。 （3）设 2 2 ( , ) ln arctan 0 y F x y x y x = + − = ，则 x y dy F x y dx F x y + = − = − 。 4

(4) 设F(x,)=arctan*+_=0,则aad-F-αdx"F"(x+y)2a?d'y- d(dy)2ady+[a* +(++)].dxdx(dx)dx(x+y)((5)设F(x,y,2)==-In三=0，则2y-F2?Oz--F-Nax-F.x+=ayF(x+z)(6)设F(x,y,2)=e"-xyz=0，则EOzO-FyzXzaxF.ayF.ei-xye"-xyazOz2y2zy?23e:)yyze0Lax?ax(ax)axax(e -xy)?(ei - xy)?(e" -xy)3-xyaz(α)1.0xzdzesz+xa-yOXax(ay)(e"-xy)2axoye"-xy(2xyzZXyze+-ei-xy(e" - xy)3(e= - xy)?(7)设F(x,y,2)=23-3xyz-α=0，则α-5O--Fyxzax2- xyayF.F.22-xy0z_ 0(02)2xy3y(yzO2ax2ax(ax(2? - xy)2(=2 - x)3axaz1a(ozO2xzOzz+x-22-2-xy(ax(ay)ax(-2 - xv)2axOxoy-=5 -2xy23 - 2 y22(-2 -xy)3(8）由f(x+y,y+z,z+x)=0即可得到5

（4）设 ( , ) arctan 0 x y y F x y a a + = − = ，则 2 2 ( ) x y dy F a dx F x y = − = + ， 2 2 2 3 2 1 ( ) d y d dy a dy dx dx dx x y dx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎠ = = ⎜ ⎟ − ⎜ + ⎝ ⎠ + ⎝ 2 2 2 5 2 [ ( ) ( ) a a x y x y = − + + + ]。 （5）设 ( , , ) ln 0 x z F x y z z y = − = ，则 x z z z F x F x z ∂ = − = ∂ + ， 2 ( ) y z z z F y F y x z ∂ = − = ∂ + 。 （6）设 F x( , y,z) = 0 z e − xyz = ，则 x z z z y F z x F e xy ∂ = − = ∂ − y z z z x F z y F e xy ∂ = − = ∂ − ， ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 ( ) z z z y z yz z e y e xy x e xy x ∂ ∂ ⎛ ⎞ = ⋅ − ⎜ ⎟ − − ∂ − ⎝ ⎠ ∂ 2 2 2 ( ) z y z e xy = − 3 2 2 (e xy) y z e z z − − ， 2 z z x y x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 1 ( ) z z z z xz z z x e y e xy x e xy x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = + ⎜ ⎟ − ⎜ − ∂ ⎝ ⎠ − ⎝ ∂ ⎞ − ⎟ ⎠ z z e xy = − 2 ( ) 2 e xy xyz z − + 3 2 (e xy) xyz e z z − − 。 （7）设 3 3 F( , x y,z) = z − − 3xyz a = 0，则 x z z F x F ∂ = − ∂ 2 yz z xy = − ， y z z F y F ∂ = − ∂ 2 xz z xy = − ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 2 2 2 ( ) y z yz z z y z xy x z xy x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ∂⎝ ⎠ − ⎝ ∂ ⎠ − ＝ 2 3 3 ( ) 2 z xy xy z − − ， 2 z z x y x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 2 2 2 1 2 ( ) z xz z z x z y z xy x z xy x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = + ⎜ ⎟ − ⎜ − ∂ ⎝ ⎠ − ⎝ ∂ ⎞ − ⎟ ⎠ ＝ 2 3 5 3 2 2 ( ) 2 z xy z xyz x y z − − − 。 （8）由 f (x + y, y + z,z + x) = 0即可得到 5