证明的，下面给出其纯代数证明.例如，由本节例2中的恒等式，有 |1+2|2=|12+|212+2Re(2) ≤|12+川212+2|ǎ121 =|刘2+22+2||21 =(|≈1+121)2， 所以 |1+21≤|十lx21. 至于不等式2)中的其余不等式，可类似证明.不等式3)用归纳法即 可证得. 例4对任意复数a,b,定义“弦距” d(a,b)=- 21a-b1 +la)1+16可1 证明三角不等式 d(a,b)d(a,c)+d(b,c). (1) 证不等式(1)等价于。 1a-b|I+lc下≤|a-cl√+1b平 +|b-c|√+aP (2) 因 (a-b)(1+|c|2)=(a-b)(1+cc) =(a-c)(1+bc)+(c-b)(1+ac), 华 1a-b|(1+|cI2)≤|a-c|.|1+1 +16-c11+ac1. (3) |1+2≤(1+H1)2 =1+2|bI川c+Hb2|c2 ≤1+1612+|c12+Hb1|c12 =(1+|b12)(1+c12), 卒 [1+b≤1+b1+c下
证明的!下面给出其纯代数证明!例如!由本节例$中的恒等式!有 %$! '$$%$&%$!%$ '%$$%$ '$()"$!$$$# '%$!%$ '%$$%$ '$%$!$$$% &%$!%$ '%$$%$ '$%$!%(%$$% & "%$!%'%$$%#$! 所以 %$! '$$%'%$!%'%$$%! 至于不等式$#中的其余不等式!可类似证明!不等式-#用归纳法即 可证得! 例& 对任意复数+!,!定义*弦距+ -"+!,#& $%+(,% 槡"!'%+%$#"!'%,%$# ! 证明三角不等式 -"+!,#'-"+!.#'-",!.#! "!# !!证 不等式"!#等价于 %+(,%槡!'%.%$ '%+(.%槡!'%,%$ '%,(.%槡!'%+%$! "$# 因 !!!"+&,#"!'%.%$#%"+&,#"!'.(# %"+&.#"!',.(#'".&,#"!'+.(#! 故 %+(,%"!'%.%$#'%+(.%(%!',.(% '%,(.%(%!'+.(%! "-# 又 %!',.(%$' "!'%,.(%#$ &!'$%,%%.%'%,%$%.%$ '!'%,%$ '%.%$ '%,%$%.%$ & "!'%,%$#"!'%.%$#! 故 %!',.(%'槡!'%,%$ 槡!'%.%$! 2
同理 I1+al≤1+aP√/I+cP. 所以，由不等式(3)即得不等式(2). 1.1.4复数的几何表示 在平面上取定直角坐标系Oxy,命坐标为(x,y)的点与复数 =x十y相对应.显然，对于每一个复数，平面上有唯一的一个点与 之相应；反之，对于平面上的每一个点，有唯一的复数与之相应.这 就是说，复数的全体和平面上的点之间建立了一一对应关系.当平 面上的点被用来代表复数时，我们就把这个平面叫做复数平面.复 平面中，x轴上的点代表实数，故x轴称为实轴.y轴上的点（除坐 标原点外)代表纯虚数y(y≠0)，故y轴也称为虚轴.今后，我们 对复数和平面上的点将不加区别，代表复数？的点就称为点之.例 如，说点3十2i,也是指这个复数.按照表示复数的字母，w,.不 同，把相应的复平面简称为：平面、Q平面、. 复数之也可以用平面上的一个自由向量来表示，这个自由向 量在实轴和虚轴上的投影分别为x和y,它的起点可以是平面上任 意一点.如果起点是原点，则向量的终点即是平面上的点之点之的 位置也可以用它的极坐标r和”来 确定（见图1.1）： .2 r=F+y,gg=义， r就是复数之的模，口称为复数x的 丁p 辐角，记作 r=,=Argz. 关于辐角，有两点必须注意： 图1.1 (1)对于任一复数≠0，有无穷 多个辐角.我们约定，用arg?表示Arg之中的某一个特定值，则 Arg之=arg之十2nπ(n为任意整数) 给出了之的全部辐角.又把落在一π<≤π这个范围内的值称为辐 角的主值，也记作arg之.显然，主值argg是由之唯一确定的.例如 8
同理 %!'+.(%'槡!'%+%$ 槡!'%.%$! 所以!由不等式"-#即得不等式"$#! !"!"& 复数的几何表示 在平面上取定直角坐标系/"#!命坐标为""!##的点与复数$ %"'##相对应!显然!对于每一个复数!平面上有唯一的一个点与 之相应&反之!对于平面上的每一个点!有唯一的复数与之相应!这 就是说!复数的全体和平面上的点之间建立了一一对应关系!当平 面上的点被用来代表复数时!我们就把这个平面叫做复数平面!复 平面中!"轴上的点代表实数!故"轴称为实轴!#轴上的点"除坐 标原点外#代表纯虚数## "##,#!故#轴也称为虚轴!今后!我们 对复数和平面上的点将不加区别!代表复数$的点就称为点$!例 如!说点-'$#!也是指这个复数!按照表示复数的字母$!0!)不 同!把相应的复平面简称为$平面,0 平面,))! 复数$也可以用平面上的一个自由向量来表示!这个自由向 量在实轴和虚轴上的投影分别为"和#!它的起点可以是平面上任 意一点!如果起点是原点!则向量的终点即是平面上的点$!点$的 图!'! 位置也可以用它的极坐标1和! 来 确定"见图!"!#' 1& 槡"$ '#$! 34!& # "! 1就是复数$ 的模!!称为复数$ 的 辐角!记作 1&%$%! !& 564$! !!关于辐角!有两点必须注意' "!#对于任一复数$#,!有无穷 多个辐角!我们约定!用764$表示 564$中的某一个特定值!则 564$&764$'$)!")为任意整数# 给出了$的全部辐角!又把落在&!)!'!这个范围内的值称为辐 角的主值!也记作764$!显然!主值764$是由$唯一确定的!例如 8
argl =0, arg3i=乏， arg(-5)=x, ag1-)=-子 根据辐角主值范围的规定，可得 (之在第一、四象限内)》 arg=π+aretg兰 (:在第二象限内) -π+aretg义 (之在第三象限内). (2)当=0时，辐角是无意义的. 设复数x（≠0)的模为r,辐角为9，则由 Rez=rcosp, Imz=rsing, 感 -r(coso+ising) 这就是复数的三角表示.例如 2i=2[cos(-受)+isim(-受)]， 1+i=2(cos牙+isin平)月 如果定义复指数 ef=coso+ising, 就可以把复数写成指数形式： =re. 不难用三角恒等式证明（略），这样定义的复指数服从指数律： e9·e2=emt), 即 (cos +ising)(cosoz +isingz) =cos(g十2)+isin(p十g2). 9
764!&,! 764-#& ! $! 764"(0#&!! 764"!(##&(! .! 根据辐角主值范围的规定!可得 764$& 76934# " "$在第一,四象限内# !'76934# " "$在第二象限内# (!'76934# " "$在第三象限内# * + , ! !!"$#当$%,时!辐角是无意义的! 设复数$"$#,#的模为1!辐角为!!则由 ()$&19:;!! *+$&1;#<!! 得 $&1"9:;!'#;#<!#! 这就是复数的三角表示!例如 ($#&$9:; (! " #$ '#;#< (! - " #$ .! !'#& 槡$9:; ! .'#;#<! " .#! !!如果定义复指数 )#! &9:;!'#;#<!! 就可以把复数写成指数形式' $&1)#!! 不难用三角恒等式证明"略#!这样定义的复指数服从指数律' )#!! ()#!$ &)#"!!'!$#! 即 "9:;!! '#;#<!!#"9:;!$ '#;#<!$# &9:;"!! '!$#'#;#<"!! '!$#! =
两个指数形式（或三角形式）的复数1=re及2=r2e相 等的充分必要条件是 n=r2,9=2十2kπ， 这里，k为任意正、负整数或零.而两个复数共轭的条件则可以用 关系 |乏|=|之|，arg胶=-arg(之≠0，argg≠π) 来表示，这里，arg是主值. 现在说明复数四则运算的几何意义.先讲加减法的几何意义， 两个复数相加减时，其实部和虚部分别相加减，因此代表复数的向 量应按平行四边形法则或三角形法则相加减，如图1.2所示.由图 1.2可立即从几何上得到前面已讲过的两个不等式： |名1十2|≤31|十|2引（三角形两边和大于等于第三边）： 1川一2川≤一2（三角形两边差小于等于第三边）， 在这两个不等式中，等号当且仅当 1+22 1和2有相同的辐角时才成立。 这时，三角形成为退化的（即三点 共线). 至于更一般的三角不等式 |1+2十.十x| ≤|1十川2+.十川m|, 其几何意义就是：连接平面上任意 图1.2 两点的线段长不大于这两点间的 折线长，因而等号成立的充分必要 条件是n个复数12，.，之m有相同的辐角 利用复数的指数形式作乘除法不仅比较简单，而且有明显的 几何意义.设有两个复数 1=ne1,2=r2e(1,2≠0)， 则由前述的指数律，有 12=n1r2e+). 这就是说，两个复数的乘积是这样一个复数，它的模等于原两复数 模的乘积，它的辐角等于原两复数的辐角之和.即 10
!!两个指数形式"或三角形式#的复数$!%1!)#!! 及$$%1$)#!$ 相 等的充分必要条件是 1! &1$! !! &!$ '$2!! 这里!2为任意正,负整数或零!而两个复数共轭的条件则可以用 关系 %$$%&%$%! 764$$&(764$"$#,!764$#!# 来表示!这里!764$是主值! 现在说明复数四则运算的几何意义!先讲加减法的几何意义! 两个复数相加减时!其实部和虚部分别相加减!因此代表复数的向 量应按平行四边形法则或三角形法则相加减!如图!"$所示!由图 !"$可立即从几何上得到前面已讲过的两个不等式' %$!'$$%'%$!%'%$$%!"三角形两边和大于等于第三边#& %%$!%&%$$%%'%$!&$$%!"三角形两边差小于等于第三边#! 图!'$ 在这两个不等式中!等号当且仅当 $! 和$$ 有相同的辐角时才成立! 这时!三角形成为退化的"即三点 共线#! 至于更一般的三角不等式 %$! '$$ ')'$)% '%$!%'%$$%')'%$)%! 其几何意义就是'连接平面上任意 两点的线段长不大于这两点间的 折线长!因而等号成立的充分必要 条件是)个复数$!!$$!)!$) 有相同的辐角! 利用复数的指数形式作乘除法不仅比较简单!而且有明显的 几何意义!设有两个复数 $! &1!)#!! ! $$ &1$)#!$ "$!!$$ #,#! 则由前述的指数律!有 $!$$ &1!1$)#"!!'!$# ! 这就是说!两个复数的乘积是这样一个复数!它的模等于原两复数 模的乘积!它的辐角等于原两复数的辐角之和!即 ,!
川2=|a川21， (4) Arg(z1z2)=Argz1+Argz2. 由于第二个等式的两边各是无穷多个数，应这样来理解：对于 Arg(a2)的任一值，一定有Arg1及Arg2的各一值与它相应， 使得等式成立；反过来也是这样. 由上述讨论得知，把表示1的 那个向量转动一个角度2，并将长 度“放大”2倍，就得到代表2的 向量.应该注意，当r2<1时，所谓的 “放大”其实是缩小（图1.3）.例如， 复数e0的模为1，辐角为0，因此把 向量之转动一个角0就得到向量 e:.特别地，由于i=e受，所以向量 这是一个与向量：垂直、且与之长 图1.3 度相等的向量. 198 对于除法，同样有公式 -m =[cos9-)+isng一小， = Arg(a）=Arg1-Arg2: 对于后一个等式，应与前面(4)式中的第二个等式一样理解. 注意，一2就是点和2之间的距离，因此对任意固定 的复数和实数p>0,由条件 12-01=0 确定的复数之的全体，就是以为中心p为半径的圆周，|之一】 <p表示圆的内部，而|之一%>ρ则表示圆的外部. 11
%$!$$%&%$!%%$$%! $564"$!$$#& 564$! '564$$! ".# 由于第二个等式的两边各是无穷多个数!应这样来理解'对于 564"$!$$#的任一值!一定有 564$! 及 564$$ 的各一值与它相应! 使得等式成立&反过来也是这样! 图!'% 由上述讨论得知!把表示$! 的 那个向量转动一个角度!$!并将长 度*放大+1$ 倍!就得到代表$!$$ 的 向量!应该注意!当1$)!时!所谓的 *放大+其实是缩小"图!"-#!例如! 复数)#"的模为!!辐角为"!因此把 向量$ 转动一个角" 就得到向量 )#"$!特别地!由于#%)#! $ !所以向量 #$是一个与向量$ 垂直,且与$长 度相等的向量! 对于除法!同样有公式 $! $$ &1! 1$ )#"!!(!$# &1! 1$ -9:;"!! (!$#'#;#<"!! (!$#.! 即 $! $$ &%$!% %$$% ! 564$! " # $$ & 564$! (564$$! 对于后一个等式!应与前面".#式中的第二个等式一样理解! 注意!%$!&$$%就是点$! 和$$ 之间的距离!因此对任意固定 的复数$, 和实数#-,!由条件 %$($,%&# 确定的复数$的全体!就是以$, 为中心,#为半径的圆周!%$&$,% )#表示圆的内部!而%$&$,%-#则表示圆的外部! !!