@绮泾然式享 985
第1章复数和平面点集 复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的.本 章内容是中学复数知识的复习和补充. 1.1复 数 1.1.1复数集 我们知道，由于负数在实数范围内不能开平方，就由关系 =一1引进了虚单位i=√一工.并把由一切有序实数对(x,y)所确 定的集合 (zlx=x+iy,x,y∈R} 称为复数集.实数x,y分别称为复数~=x十y的实部及虚部， 记作 x =Rez,y=Imz. 特别地，当lmz=0时，x=Rez=x是实数；当Rez=0且mz≠0 时，2=iIm2=iy称为纯虚数. 两个复数相等，是指它们的实部和虚部分别相等.如果一个复 数的实部和虚部都等于零，就称这个复数等于零.两个复数x十iy 和x一y称为相互共轭，如果其中一个用：表示，则另一个用表 示.显然，实数的共轭仍为该实数. 设有两个复数1=1十iM和2=x2十iy2,它们的四则运算规 则定义如下： 1)加法和减法.1及2的和与差分别为 1+2=(x1十x2)十i(y1+十y2) 及 -2=(x1-x2)十i(yM-y2)
第!章 复数和平面点集 复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的!本 章内容是中学复数知识的复习和补充! !"! 复!!数 !"!"! 复数集 我们知道!由于负数在实数范围内不能开平方!就由关系 #$%&!引进了虚单位#% &! 槡 !并把由一切有序实数对""!##所确 定的集合 $$%$&"'##!"!#"#% 称为复数集!实数"!# 分别称为复数$%"'## 的实部及虚部! 记作 "&()$! #&*+$! 特别地!当*+$%,时!$%()$%"是实数&当 ()$%,且*+$#, 时!$%#*+$%##称为纯虚数! 两个复数相等!是指它们的实部和虚部分别相等!如果一个复 数的实部和虚部都等于零!就称这个复数等于零!两个复数"'## 和"&##称为相互共轭!如果其中一个用$表示!则另一个用$$表 示!显然!实数的共轭仍为该实数! 设有两个复数$!%"!'##! 和$$%"$'##$!它们的四则运算规 则定义如下' !#加法和减法!$! 及$$ 的和与差分别为 $! '$$ & ""! '"$#'#"#! '#$# 及 $! ($$ & ""! ("$#'#"#! (#$#! -
2)乘法.1和2相乘，可以按多项式的乘法法则来进行，只 是必须将结果中的卫代之以一1，即 1·2=(x1x2-y1y2)+i(1y2十x2yM1). 特别地，当=x十iy时，有 远=x2十y2. 通常，称非负实数√x十y为复数之的模，记为引之|.于是，上式可 写成 效=|之12 3)除法.除以2(2≠0)的商定义为 刘=超 2222 (ntiv)(r-iv 1212 (x1x2+yy2)十i(2y-1y2) x22十y22 读者很容易利用乘法运算规则直接验证，这样定义的除法运 算是乘法运算的逆运算，即有 2·4=1. 由上面的运算规则可见，复数运算满足下列规律：设·2， 是复数，则 十2=2十， 为·2=2·（交换律)； (十2)十3=1十(2十3)， （·2)·3=·(2·）(结合律)； 刘1(2十3)=12十3（分配律）. 1.1.2共轭复数 共轭复数的运用，在复数运算上有着特殊的意义.先把它的一 些运算性质罗列如下： 1)=x: 4
!!$#乘法!$! 和$$ 相乘!可以按多项式的乘法法则来进行!只 是必须将结果中的#$ 代之以&!!即 $!($$ & ""!"$ (#!#$#'#""!#$ '"$#!#! !!特别地!当$%"'##时!有 $$$&"$ '#$! 通常!称非负实数 槡"$'#$为复数$的模!记为%$%!于是!上式可 写成 $$$&%$%$! !!-#除法!$! 除以$$"$$#,#的商定义为 $! $$ &$!$$$ $$$$$ & ""! '##!#""$ (##$# %$$%$ & ""!"$ '#!#$#'#""$#! ("!#$# "$ $ '#$ $ ! !!读者很容易利用乘法运算规则直接验证!这样定义的除法运 算是乘法运算的逆运算!即有 $$($! $$ &$!! !!由上面的运算规则可见!复数运算满足下列规律'设$!!$$!$- 是复数!则 $! '$$ &$$ '$!! $!($$ &$$($! "交换律#& "$! '$$#'$- &$! '"$$ '$-#! "$!($$#($- &$!("$$($-#"结合律#& $!"$$ '$-#&$!$$ '$!$- "分配律#! !"!"$ 共轭复数 共轭复数的运用!在复数运算上有着特殊的意义!先把它的一 些运算性质罗列如下' !#$&%$&
2)x十=2Re2,z-=21m2; 3)1士2=士2； 0两=，（号）=： 5)=(Re2)2+(Imx)2=|z|2. 这些性质都不难证明，留给读者做练习.此外，由性质2)的第 二个式子可知，复数：是实数的充分必要条件为x=;由性质2)的 第一个式子得知，之是纯虚数的充分必要条件为之=一乏，且≠0. 例1设x=x十iy,y≠0，y≠士i证明：当且仅当x2+y2=1 时千是实数 证千是实数等价于 即 十2=十2， 亦即 （x-)(1-)=0. 因y≠0，故2iy=x一≠0，从而 1-2=0, 1x12=1. 多 x2+y2=1. 由于上述推导的每一步都是可逆的，故命题得证」 例2设，2为任意复数，证明恒等式 1)|12=|12|=|11·|21: 2)|1+2|2=|a2+|2|2+2Re(12). 证1)由共轭复数的性质，有 |212|=√12·2 =√1·22
$#$'$$%$()$!$&$$%$*+$& -#$!/$$%$$!/$$$& .#$!$$%$$!($$$! $! " # $$ %$$! $$$ & 0#$$$%"()$#$'"*+$#$%%$%$! 这些性质都不难证明!留给读者做练习!此外!由性质$#的第 二个式子可知!复数$是实数的充分必要条件为$%$$&由性质$#的 第一个式子得知!$是纯虚数的充分必要条件为$%&$$!且$#,! 例! 设$%"'##!##,!##/#!证明'当且仅当"$'#$%! 时! $ !'$$是实数! 证 $ !'$$是实数等价于 $ !'$$ & $ " # !'$$ & $$ !'$$$! 即 $'$$$$ &$$'$$$$! 亦即 "$($$#"!($$$#&,! 因##,!故$##%$&$$#,!从而 !($$$&,! %$%$ &!! 即 "$ '#$ &!! !!由于上述推导的每一步都是可逆的!故命题得证! 例$ 设$!!$$ 为任意复数!证明恒等式 !#%$!$$%%%$!$$$%%%$!%(%$$%& $#%$!'$$%$%%$!%$'%$$%$'$()"$!$$$#! 证 !#由共轭复数的性质!有 %$!$$$%& 槡$!$$$($!$$$ & 槡$!$$!($$$$$ 0
=|11|21. 同理 |12|=|1||2 2)因为 「1十212=（知1十2）(1十2) =（1十2)(1十2) =|112十|2|2十12十21， 2十22=为2十（12) =2Re(x12), 所以 11十2|2=|112+|212+2Re(12). 例3试证明实系数多项式的根共轭存在 证设。是n次多项式 P()=2+a1十.+ar1+an 的根，其中，各系数a1,a2,.,am都是实数.由共轭复数的性质，有 P(o)=(o)"十a1()r十.十a-1十an =0十a10十.+a阿3十a。 =0"十a10十.十a-10十am =P(o) =0. 这就证得也是P(:)的根， 1.1.3关于复数模的不等式 不等式是复变函数中的一个重要工具，常用的基本不等式有 DsleeIRe+Ia: 2)1川a1-|2≤士2≤|a1+|2; 3)|十2十.十xn≤||十|z2|十.十|xn. 不等式1)的成立是显然的.不等式2)在中学里通常是用几何方法 6
&%$!%(%$$%! 同理 %$!$$%&%$!%(%$$%! !!$#因为 %$! '$$%$& "$! '$$#"$! '$$# & "$! '$$#"$$! '$$$# &%$!%$ '%$$%$ '$!$$$ '$$$$!! 又 $!$$$ '$$$$!&$!$$$ '"$!$$$# &$()"$!$$$#! 所以 %$! '$$%$ &%$!%$ '%$$%$ '$()"$!$$$#! !!例% 试证明实系数多项式的根共轭存在! 证 设$, 是)次多项式 *"$#&$) '+!$)(! ')'+)(!$'+) 的根!其中!各系数+!!+$!)!+) 都是实数!由共轭复数的性质!有 *"$$,#& "$$,#) '+!"$$,#)(! ')'+)(!$$, '+) &$, ) '+$!$, )(! ')'+)(!$$, '+$) &$, ) '+!$, )(! ')'+)(!$, '+) &*"$,# &,! 这就证得$$, 也是*"$#的根! !"!"% 关于复数模的不等式 不等式是复变函数中的一个重要工具!常用的基本不等式有 !#%()$% %*+$%%'%$%'%()$%'%*+$%& $#%%$!%&%$$%%'%$!/$$%'%$!%'%$$%& -#%$!'$$')'$)%'%$!%'%$$%')'%$)%! 不等式!#的成立是显然的!不等式$#在中学里通常是用几何方法 1