例1全体n维向量构成的向量组记作R?,求R的一个 极大无关组和R的秩。 解我们已经证明了n维单位坐标向量构成的向量组 E:el,e2,"",en 是线性无关的，而任意+1个n维向量都线性相关，因此 向量组E是Rm的一个极大无关组，且R”的秩等于n。 显然，任何n个线性无关的n维向量都是R"的极大无关 组，故R的极大无关组有无穷多个
例1 全体 n 维向量构成的向量组记作Rn ,求Rn的一个 极大无关组和Rn的秩。 解 我们已经证明了n维单位坐标向量构成的向量组 E: e1 ,e2 ,…,en 是线性无关的，而任意 n+1 个 n 维向量都线性相关，因此 向量组 E 是 Rn 的一个极大无关组，且 Rn 的秩等于 n。 显然，任何 n个线性无关的n 维向量都是Rn的极大无关 组，故 Rn 的极大无关组有无穷多个
例2设矩阵 2 A= 4 9 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无 关组的列向量用极大无关组线性表示。 解对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵 1
例2 设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 , − − − = − − − A 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无 关组的列向量用极大无关组线性表示。 解 对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 , − − − A
显然R(4)=3,故列向量组的极大无关组含3个解向量。而 三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故a1,a2,a4为列 向量组的一个极大无关组。这是因为： 行变换 01 知R(a1,a2,a4）=3,故a1,a2,a4线性无关
显然R(A) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个解向量。而 三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 α1 , α2 , α4为列 向量组的一个极大无关组。这是因为： 知 R(α1 ,α2 ,α4 ) = 3,故α1 ,α2 ,α4线性无关。 ( 1 2 4 ) 111 0 1 1 0 0 1 000 , , , 行变换
为把a3,as用a,2,a,线性表示，把A再变成最简形矩阵 -1( 即得 0a30102 a5=404+302304
为把α3 ,α5用α1 ,α2 ,α4线性表示，把A再变成最简形矩阵 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 , − − − A 即得 α3 = －α1－α2 α5 = 4α1 + 3α2－3α4
定理7设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B 的秩不大于向量组A的秩。 证设向量组B和A的一个极大无关组分别为 B0:b1,b2,,bn, Ao:a1a2,"",as 要证r≤S。 因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A 组能由A,组线性表示，故B,组能由A,组线性表示，即 (6,b,…,b,)=(a.a2,a,)
定理7 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B 的秩不大于向量组A的秩。 证 设向量组 B 和A 的一个极大无关组分别为 B0 : b1 , b2 ,…, br , A0 : α1 ,α2 ,…,αS , 要证r ≤ s 。 因B0组能由 B组线性表示，B 组能由 A组线性表示，A 组能由 A0组线性表示，故 B0组能由 A0组线性表示，即 ( ) ( ) 11 1 1 2 1 2 1 r r s s sr k k b ,b , ,b , , , , k k =