第二节方差
第二节 方差
课堂练习 1.已知随机变量X服从参数为1/2的指数分布,则随 机变量Z=3X2的数学期望E(Z)= 2.已知随机变量X服从参数为2的泊松( Poisson)分布, YN(2,4),Z=Ⅹ-Y,则EZ=( 若X,Y独立,则E(XY)=( 解1.EZ=3EX-2=4 2.EZ=EXEY=2-(2)=4 E(XY==(EX)(EY)=-4
1. 已知随机变量 X服从参数为1/2的指数分布，则随 机变量 Z=3X-2的数学期望E（Z）=（ ）。 解 1. EZ=3EX-2=4 2. EZ=EX-EY=2-(-2)=4 E(XY)==(EX)(EY)=-4 2. 已知随机变量 X服从参数为2的泊松(Poisson)分布, Y~N(-2,4),Z=X-Y,则EZ=( ); 若X,Y独立,则E(XY)=( ). 课堂练习
随机变量的方差与标准差是刻画随机变量X与E(X 的偏离程度的数字特征。 随机变量的数学期望刻画了随机变量取值的平均值, 反映了随机变量值的集中位置。但在许多实际问题中, 除了要考虑随机变量取值的集中位置,还要考虑随机变 量取值与其均值的偏离程度。 用什么量去刻画随机变量X与其均值的偏离程度呢? 显然不能用XE(X的期望,因为EX-E(X=E(X E(X)=0,即正负偏离彼此抵消了。为避免正负抵消, 可采用EXE(X川或EXE(X)},因为在数学上绝对 值的处理比较麻烦,因此采用后者度量随机变量X与 E(X)的偏离程度,这个值就是方差
随机变量的方差与标准差是刻画随机变量X与E(X) 的偏离程度的数字特征。 随机变量的数学期望刻画了随机变量取值的平均值， 反映了随机变量值的集中位置。但在许多实际问题中， 除了要考虑随机变量取值的集中位置，还要考虑随机变 量取值与其均值的偏离程度。 用什么量去刻画随机变量X与其均值的偏离程度呢？ 显然不能用X-E(X)的期望，因为E[X-E(X)]=E(X)- E(X)=0，即正负偏离彼此抵消了。为避免正负抵消， 可采用E[|X-E(X)|]或E{[X-E(X)] 2}，因为在数学上绝对 值的处理比较麻烦，因此采用后者度量随机变量X与 E(X)的偏离程度，这个值就是方差
一、方差与标准差的定义 定义43设X是一个随机变量,若E{XE(X 在,则称E{XE(利}为随机变量X的方差。记为D(X) 或Ⅴar(X,即 D(=EXE(12 称√D(X)为X的标准差或均方差,记为(X,即 o(X)=√DX (410 由定义知方差D(X是一非负实数,它刻画了随机 变量X的取值与其均值的偏离程度。D(X越小,X的取 值越集中在E(X)附近;D(X越大,X的取值越分散。方 差D(X)实质上是随机变量X的函数(X=XE(X)的数 学期望
一、方差与标准差的定义 称 D(X)为X的标准差或均方差，记为 (X)，即 定义4.3 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)] 2}存 在，则称E{[X-E(X)] 2}为随机变量X的方差。记为D(X) 或Var(X)，即 D(X)=E{[X-E(X)] 2}, (4.9) (X) D(X). (4.10) 由定义知方差D(X)是一非负实数，它刻画了随机 变量X的取值与其均值的偏离程度。D(X)越小，X的取 值越集中在E(X)附近；D(X)越大，X的取值越分散。方 差D(X)实质上是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)] 2的数 学期望
方差的计算: ①若X为离散型随机变量,其分布律为P{X=x}=P, k=1,2,…则 D(X)=E{X-E(X)=∑x-E(X)|;(41) k=1 ②若X为连续型随机变量,其概率密度为∫(x),则 D(X)=E{X-E(X)2}=x-E(X)f(x)dx.(4.12) ③计算方差D(X还有一个常用的公式 D(X)=E(X2)-[E(X) (4.13) 事实上,利用期望的性质,有 D(=EX-E(X)=EX2-2XE(X+E(X121 E(X2)2E(XE(X+[E()2=E(X2)[E(X)2
1 2 2 ( ) { ( ) } [ ( ) ] ; (4.11) 1,2, , { } k k i k k D X E X E X x E X p k X P X x p 则 ①若 为离散型随机变量，其分布律为 ， 方差的计算： ( ) { ( ) } [ ( )] ( )d . (4.12) ( ), 2 2 D X E X E X x E X f x x ②若X为连续型随机变量，其 概率密度为f x 则 ( ) ( ) [ ( )] . (4.13) ( ) 2 2 D X E X E X D X ③计算方差 还有一个常用的公式 事实上，利用期望的性质，有 D(X)=E{X-E(X) 2]=E{X2-2XE(X)+[E(X)] 2} =E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)] 2=E(X2)-[E(X)] 2