随机向量函数的分布
随机向量函数的分布
离散型随机向量函数的分布 例设随机变量X1与X2相互独立,分别服从二项分布 B(n1p)和B(n1p),求Y=x计+X2的概率分布 解依题知Ⅹ+Y的可能取值为0,1,2,…,n1+n2,因此 对于k(k=0.,1,2,…n1+n2),由独立性有 P(Y=k)=>P(X=k1, X2=k2) K,+k,=k ∑CAp(1-P n-kI ck2 nk (1-p) k+k2=k ∑ChC,p(1-p) n+n2-k K1+k2=k 由∑C4Ch=C+得P(Y=k)= Cmim p(1-p) n, tna-k K1+k2=k 所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2p)
例 设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布 B(n1 ,p)和B(n1 ,p)，求Y=X1+X2的概率分布. 解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因此 对于k (k= 0,1,2,...,n1+n2 )，由独立性有 + = − − + = = − − = = = = k k k k k n k n k k n k n k k k C p p C p p P Y k P X k X k 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 (1 ) (1 ) ( ) ( , ) 1 1 2 2 + = + − = − k k k k k n n k n k n C C p p 1 2 2 1 2 2 1 1 (1 ) k n n k k k k n k Cn C C 1 2 1 2 2 2 1 1 + + = 由 = 得 k k n n k Cn n p p + − = + − 1 2 1 2 P(Y = k) (1 ) 所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2 ,p) 离散型随机向量函数的分布
连续型随机变量和的概率密度函数 例设随机变量X1和X2相互独立,概率密度函数分别为f1(x) 和f2(x),求Y=X计+X2的概率密度函数 解对任何a<b,令y=x1+x2,则 P(a<Y<b)=Pa<X1+X2<b)=∫(x)(x)2 a<x,+x<b fi(-xf(xdx p 所以,Y的概率密度函数为f(y)=f(y-x)/2(x) +oo 作变换tyx,又可得f(y)=f(x)2(y-x)x
例 设随机变量X1和X2相互独立,概率密度函数分别为f1 (x) 和f2 (x),求Y= X1+X2的概率密度函数. 解 对任何a<b,令y=x1+x2 ,则 + = + = a x x b P a Y b P a X X b f x f x dx dx 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 f (x ) f (x )dx dx b x a x + − − − = 2 2 1 2 2 f (x ) f (y x )dy dx b a + − = − f y x f x dx dy b a = − + − ( ) ( ) 1 2 所以,Y的概率密度函数为 + − f y = f y − x f x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 作变换t=y-x,又可得 + − f y = f x f y − x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 连续型随机变量和的概率密度函数
结论1两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随 机变量 即若随机变量X1和X2相互独立,概率密度函数分别为 f1(x)和f2(x),则Y=X1+X2的概率密度函数为 + fr()= f(y-x)2(x)dx If(x)f2(y-x)dx
结论1 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随 机变量. 即 若随机变量X1和X2相互独立，概率密度函数分别为 f1 (x)和f2 (x)，则Y= X1+X2的概率密度函数为 + − f y = f y − x f x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 + − = f (x) f (y − x)dx 1 2
例设随机变量X和Ⅹ2相互独立,且均服从标准正态分布 N(1)求Y=x1+X2的概率密度函数「y~N(0,2) x 解由题意得f(x)= e2,f2(x2) 丌 X1和X2相互独立,故 (y-X)- +oO fr()=.f(y-x)2(x)dx e 2 e 2 dx 2丌 (x +oO 4 e 2丌 2 4 2 dt e 2√2丌 2√
例 设随机变量X1和X2相互独立,且均服从标准正态分布 N~(0,1),求Y= X1+X2的概率密度函数. 解 由题意得 + − f y = f y − x f x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 , ( ) 2 1 ( ) x x f x e f x e − − = = X1和X2相互独立,故 + − − − − = e e dx x y x 2 ( ) 2 2 2 2 1 + − − − − = e e dx y x y 2 2 ) 2 ( 4 2 1 2 2 y x t 令 = − + − − − = e e dt y t 4 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 = + − − e du u 4 2 2 1 y e − = Y ~ N(0,2)