随机变量的相互独立性与条件分布
随机变量的相互独立性与条件分布
定义称随机变量XY相互独立,若对任意a<bc<d有 Pfasxsb, csrd=pfasxbpcsrsd 定理1 pii=pip 离散型 随机变量巧与Y是相互独立的◇ (xy)=(x)/(y)连续型 定理2 若X与Y相互独立,则它们的连续函数g(x)与h(Y也相互 独立。 特别有aX+b与cY+d相互独立
定义 称随机变量X,Y相互独立,若对任意a<b,c<d有: = = 连续型 离散型 随机变量 与 是相互独立的 f ( x, y ) f ( x )f ( y ) p p p X Y 1 2 i j i. . j P{ a X b,c Y d } = P{ a X b }P{ c Y d } 定理1 若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互 独立。 特别有 aX+b与cY+d相互独立. 定理2
例222(X,Y)的联合概率分布为 Y 0 (1)求X,Y的边缘分布; 00304(2)判断XY是否独立 0.20.1(3)求F(0,2) 解(1)X,Y的概率分布分别为 X 0 P0.70.3 P 0.50.5 (2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.7×0.5=0.35 P(X=0,y=0)≠P(X=0)P(Y=0)X,Y不独立 注意XY独立时需对所有的(x)验证 3)F(0,2)=P(X<0,Y<2)=0.3+0.4=0.7
例2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为: X 0 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 (1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. (3)求F(0,2). 解:(1)X,Y的概率分布分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 (2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35 P( X = 0,Y = 0 ) P( X = 0 )P(Y = 0 ) X,Y不独立. 注意:X,Y独立时,需对所有的(xi ,yj )一一验证. =0.7×0.5 (3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7
例2.2.3设(XY)服从区域D上的均匀分布判断X,Y 的独立性,其中 (1)D={(Xy)x<1y≤1}(2)D={(xy),x2+y21} 解(1 f(x, y) ∫|xy 0其它 f1(x) dy=,|x≤1 4 Vs/ 同理 0 0y}>1 f(x,y)=f1(x2(y)所以X,Y独立 x2+y2≤l 2-y lyk (2)(x,y)={z f(x)=T VI-xfIxkI f2(y=T 0其它 x>1 f00=≠f(0)f2(0) 224 X,Y不独立 丌兀丌
例2.2.3 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y 的独立性,其中 (1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1} f1 (x)= |x|≤1 − 1 1 dy 4 1 2 1 = |x|>1 0 f2 (y)= 0 | y | 1 | y | 1 2 1 解 (1) = 0 其它 | x | 1,| y | 1 f ( x, y ) 4 1 同理, f ( x, y ) f ( x )f ( y ) = 1 2 所以,X,Y独立. (2) + = 0 其它 x y 1 1 f ( x, y ) 2 2 − = 0 | x | 1 1 x | x | 1 2 f ( x ) 2 1 − = 0 | y | 1 1 y | y | 1 2 f ( y ) 2 2 1 f (0,0 ) = 1 2 2 2 2 4 f (0 )f (0 ) = = X,Y不独立
例2.2.4设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整 y2 y3 p 1/241/81/121/4 1/83/81/43/4 P.;1/61/21/31
例2.2.4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整. X x1 x2 Y y1 y2 y3 1/8 1/8 pi j p 1/6 1 1/24 1/12 1/4 1/2 1/3 3/8 1/4 3/4