例414设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=12 (1-x2),0≤x≤1, 其他, 求方差D(X) 解 E(X)=xf(x)=x(1-x2)3 3 02 8 3 E(X )= x f(xXx=x (1-x )dx 2 5 从而 D(X)=E(X)-E(X/21 3 19 5(8 320
例4.14 设连续型随机变量X的概率密度为 0, , (1 ), 0 1, 2 3 ( ) 2 其他 x x f x . 320 19 8 3 5 1 ( ) ( ) [ ( )] , 5 1 (1 )d 2 3 ( ) ( )d , 8 3 (1 )d 2 3 ( ) ( )d 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2 D X E X E X E X x f x x x x x E X xf x x x x x 从而 求方差D(X). 解
例415设随机变量X~NA1a2),求方差D(X和标 准差a(X R D(X)=E(X-E(X)1)=EI(X-u)'I (x-p) e 20- dx √2a 作变换 x-a 则 dx=out, D(X)=σ2t e 2 dt 2兀 2 e +e 2 dt 2兀
例4.15 设随机变量X～N(,2)，求方差D(X)和标 准差 (X). e d . 2 1 ( ) ( ) { ( )] } [( ) ] 2 2 2 ( ) 2 2 2 x x D X E X E X E X x 解 t dx dt, x 作变换 ，则 D X t t t e d 2 1 ( ) 2 2 2 2 e e d , 2 2 2 2 2 2 2 t t t t
(X)=√D(X)=a 可见,正态分布N(凸02)中,第二个参数a2是该分 布的方差,方差a越小,随机变量取值越集中在均值 附近;反之,方差a越大,随机变量的取值越分散。 2的含义与第2章介绍正态分布时的描述是一致的
可见，正态分布N(,2)中，第二个参数2是该分 布的方差，方差2越小，随机变量取值越集中在均值 附近；反之，方差2越大，随机变量的取值越分散。 2的含义与第2章介绍正态分布时的描述是一致的。 (X) D(X)
方差的性质 性质1设C为常数,则D(O)=0 TE D(C=EIC-E(CI2=EI(C-C)21=0 性质1表明常数的方差为零。这在直观上很容易理 解,因为方差刻画的是随机变量围绕其均值的波动情况, 常数作为特殊的随机变量,其波动性为零,因此方差为 零 性质2设a,b为常数,则D(aX+b)=m2D(X iE D(aX+b)=EaX+b-E(aX+b)12) ElaX+b-ae(x-b12) =A2EIX-E(X12=a2D(X)
二、方差的性质 性质1 设C为常数，则D(C)=0. 证 D(C)=E{[C-E(C)] 2}=E[(C-C) 2]=0. 性质1表明常数的方差为零。这在直观上很容易理 解，因为方差刻画的是随机变量围绕其均值的波动情况， 常数作为特殊的随机变量，其波动性为零，因此方差为 零。 性质2 设a,b为常数，则D(aX+b)=a 2D(X). 证 D(aX+b)=E{[aX+b-E(aX+b)] 2} =E{[aX+b-aE(X)-b] 2} =a 2E{[X-E(X)] 2}=a 2D(X)
推论1D(X+b)=D(Ⅺ,b为常数。 这表明平移不会改变随机变量的波动情况,即不会 改变方差。 推论2D(aX)=m2D(X,a为常数 特别,D(X=D(X,这表明将随机变量的取值全 取相反数后,随机变量与其均值的偏离程度不变。 性质3D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数 C,即P(X=C}=1,这里C=E(X)(证略) 性质4设随机变量X与Y相互独立,则有 D(壮Y=D(X+D() HE D(X+Y=E(X+Y-E(X+D12) =E{X-E(X}+[YE()}2
推论1 D(X+b)=D(X), b为常数。 这表明平移不会改变随机变量的波动情况，即不会 改变方差。 推论2 D(aX)=a 2D(X), a为常数。 特别，D(-X)=D(X)，这表明将随机变量的取值全 取相反数后，随机变量与其均值的偏离程度不变。 性质3 D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数 C，即P{X=C}=1，这里C=E(X)(证略). 性质4 设随机变量X与Y相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 证 D(X+Y)=E{(X+Y)-E(X+Y)] 2} =E{X-E(X)}+[Y-E(Y)]} 2