(b11+b21O2+…+b1a,b2ax1+b2x2+…+b,2?… bnr1+b2n2+…+bnx,) b1C1+b,2+…+b bCn+bOn+…+b 从而有 =bnr1+b2n2+…+bn 即y1y2…,yn可由aa2…,a,线性表示,故 r(y1,y2…,yn)≤r(a12a2…,a,) 而r(%1,y2…,yn)=r(C),r(a1,a2…,ax,)=r(A),所以 r(C)=r(AB)≤r(A) 又C=BA,由上面证明的结果知: (C)=r(C=r(B A<r(B=r(B)
), ( , ,, 2211 221111 2221121 2 n n ssn ss ss bb b bb bbb b αα α α α α α α α +++ = + + + + + + L L L L ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ +++= +++= +++= , , , 2211 2221122 2 2211111 1 nn n ssn ss ss bb b bb b bb b ααγ α ααγ α ααγ α L LL L L 从而有 ).,,,(),,,( ,,, ,,, 21 21 21 21 n s n s r r αααγγγ αααγγγ L L L L ≤ 即 可由 线性表示，故 ).()()( )(),,,()(),,,( 21 21 ArABrCr r rCr Ar n s ≤= 而 L γγγ = ， L ααα = ，所以 BrBrABrCrCr ).()()()()( ABC T TT T TTT =≤== 又 = ，由上面证明的结果知：
综上:r(AB)≤min{r(A),r(B)} 注:1.也可按照r(AB)(4)的方式证明r(4B)≤r(B),读者可自己 完成 2.此题若不利用向量组做是很困难的,我们经常以矩阵做工具来 解决向量组的问题,从这个例题中可看出:我们也可用向量组来 解决矩阵的问题 3.r(AB)≤min{r(A),r(B)}是一个很有用的公式 二.相关性的判定 1.利用定义讨论向量组的线性相关性 利用定义讨论向量组ax1a2…,Cm的线性相关性,一般步骤为: (1)设kax1+k2a2+…+knn=0; (2)将向量方程转化为k1k2,…,kn的方程组并求解;
综上： ≤ BrArABr )}.(),(min{)( 注：1. 也可按照 r (AB ) ≤ r (A) 的方式证明 r (AB ) ≤ r ( B) ，读者可自己 完成. 2. 此题若不利用向量组做是很困难的，我们经常以矩阵做工具来 解决向量组的问题，从这个例题中可看出：我们也可用向量组来 解决矩阵的问题. 3. r (AB ) ≤min{ r (A) , r ( B)}是一个很有用的公式. 二. 相关性的判定 1. 利用定义讨论向量组的线性相关性 利用定义讨论向量组 α α 21 L α m ,,, 的线性相关性，一般步骤为： 设 )1( α + α 2211 + L + kkk α mm = 0； )2( 将向量方程转化为 21 L kkk m ,,, 的方程组并求解；
3)根据解的情况判断向量组的线性相关性,即 若k=k2=…=kn=0,则向量组a12a2…an线性无关; 若k,k2…kn不全为零,则向量组a1,a2…m线性相关 例6设向量组a,a2…a。与向量组a13a2…,a,y都是 线性无关的,但向量组a1a2…a,2B线性相关,证明 向量组a12a2…,ax2,y-B线性无关 证设有常数k1k2…,k2使ka1+…+k。a+k(y-B)=0 由题设a1,a2…,a、线性无关,a1,a2,…,a、,B线性相关知: B可由a12a2,…,a、线性表示,不妨设 B=l1a1+l2ax2…+la
,, . ,, 0 ,, )3( 21 21 21 21 若 不全为零，则向量组 线性相关 若 ，则向量组 线性无关； 根据解的情况判断向量组的线性相关性，即 m m m m kkk kkk ααα ααα L L L ==== L . ,,,, ,,,, 6 ,,,, ,,, 21 21 21 21 向量组 线性无关 线性无关的，但向量组 线性相关，证明 例 设向量组 与向量组 都是 βγααα βααα ααα γααα s − s s s L L L L ,,,, ,0)( 证 设有常数 21 L s 使 α11 + L + α ss + kkkkkkk γ − β = 可由 线性表示，不妨设 由题设 线性无关， 线性相关知： ,,, ,,, ,,,, s21 s21 s21 αααβ α α α α α α β L L L , 2211 ss β = α + α L + lll α
则有ka1+k2a2+…+k.a、+k(y-la1 C 整理得(k1-k)x1+(k2-kl2)a2+…+(k,-kl,)a+ky=0 由于ax1a2…a,y是线性无关的,故有 k-kl 00 k-R=0, k=0 由此方程组得k=k2=…=k。=k=0,从而a,a2…,2 y-B线性无关
( ,0) 则有 α + α 2211 +L+ α ss + γ − α − α 2211 L− lllkkkk α ss = .0)()()( 整理得 − α + − klkklk α 222111 +L+ − α sss + kklk γ = 由于α α 21 L α s γ ,,,, 是线性无关的，故有 .0 ,0 ,0 ,0 22 11 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ = =− =− =− k klk klk klk ss LL . ,,,,0 21 21 线性无关 由此方程组得 ，从而 βγ ααα − s ===== s L kkkk L