例3已知向量组 (A)a12a2…,a; (B)a12a2 (C)a12a2,…,3,y 若各向量组的秩分别为r(A)=r(B)=,r(C)=S+1 求向量组a1,a2…a、2y-角的秩 解由题设知,a1,a2…,a,线性无关,而ax,a2…,an,B 线性相关,故B可由a1,a2…,an线性表示,设表示式为 B=ka+k,a,+.+ ka 则y-B=y-ka1-…-ka2,从而a1,a2…,a,y-B
例 3 已知向量组 .,,,, )( ,,,, )( ,,, )( 21 21 21 γααα βααα α α α s s s C B A L L L ； ； .,,,, ,1)(,)()( 求向量组 s21 的秩 若各向量组的秩分别为 − βγααα +=== L sCrsBrAr 线性相关，故 可由 线性表示，设表示式为 解 由题设知， 线性无关，而 ,,, ,,, ,,,, 21 21 21 s s s αααβ α α α α α α β L L L , 2211 ss β = α + α +L+ kkk α , 11 ss 则γ − β γ −= α −L− kk α ,,,, 从而α α 21 L α s γ − β
可由a1a2…,a2y线性表示 又y=B+(y-B)=ka1+k2a2+…+k,a+(y-B) 故a1,a2,…,a,y可由a1,a2…,a、,y-B线性表示,因此 a2…ay,y-β与a1a2…an,y等价,故 r(a1,a2,…ax2y-B)=r(1,2…,a32y)=S+1 例4设向量组:a…,an与向量组I:月2…,B的秩 相同,且向量组I可由向量组I线性表示,证明向量组I 与向量组等价
. ,,,, 可由 α α 21 L α s γ 线性表示 )( ),( 又 γ = β + γ − β = α + α 2211 + L + kkk α ss + γ − β 与 等价，故 故 可由 线性表示，因此 ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, 21 21 21 21 γαααβγααα α α α γ α α α γ β s s s s L L L L − − .1),,,,(),,,,( r α α 21 L α s γ − β = r α α 21 L α s γ = s + .II II I I 4 ,,II ,,I 1 1 与向量组 等价 相同，且向量组 可由向量组 线性表示，证明向量组 例 设向量组 ： L αα m 与向量组 ： L ββ n 的秩
B1 证记A=:,B= 设r(A)=r(B)=s,an2…,an为向量组I的极大无关组, Bn…,B为向量组Ⅲ的极大无关组 由题设月12…,B可由an2…,an线性表示,设表示式为 C
. 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m n A B β β α α 记证 ， MM II ,, . I ,,)()( 1 1 为向量组 的极大无关组 设 ， 为向量组 的极大无关组， j js i is sBrAr ββ αα L == L 由题设 β j1 L β js 可由 αi1 L αis ,, ,, 线性表示，设表示式为 , 1 1 1 11 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ is i s ss s js j aa aa α α β β M L MM L M
设A B=:,K=(an)x,则B1=K4 由=r(B1)=r(K4)≤r(K)知:r(K)≥S,但显然有r(K)≤s 故r(K)=,即K为可逆阵,故有A1=KB,即a12…,an 可由B…B线性表示,从而an1…,a与Bn…,B等价 由极大无关组与原向量组的等价性得ax1…,an与 B2…,B等价 注:1.两向量组的秩相同,不能断言两向量组等价,但附加 定的条件后可以等价.因此,读者应注意:向量组的等价仅由 秩相等是不够的,这一点与矩阵等价不一样
. )( 11 1 1 1 A1 B ssij KABaK js j is i = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 设 = ， ， × ，则 β β α α M M )( )()()( ,)( 1 1 由 = = ≤ 知： ≥ sKrKrKArBrs ，但显然有 ≤ sKr ,, . ,, ,, )( ,, 1 1 1 1 1 1 1 可由 线性表示，从而 与 等价 故 ，即 为可逆阵，故有 ，即 j js i jis js KsKr BKA i is ββ ββαα αα L L L = = − L . ,, ,, 1 1 等价 由极大无关组与原向量组的等价性得 与 n m ββ αα L L 注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一 定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由 秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样
2.在例4中,因为m与n不一定相同,但两向量组的秩相等,故 取极大无关组来做.实际上,此题若不利用极大无关组是很难证 出来的.因此,在讨论向量组的问题时,可取其极大无关组为讨 论对象 3利用向量组解决有关矩阵的问题 例5设A为m×s矩阵,B为sXn矩阵证明 r(AB)smin(r(a), r(B) 证设A的列向量组为a12a2…,a,即A=(a12a2…a) B=(b)n,设C=AB且C的列向量组为%,y2…”则有 2n 6. b 2
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故 取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证 出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨 论对象. 3.利用向量组解决有关矩阵的问题 为设例 × 矩阵， 为 × nsBsmA . 5 证明矩阵 ≤ BrArABr )}.(),(min{)( ),,,,( ,,, 设证 A的列向量组为α α 21 L αs，即 A = α α 21 L αs = ×nsij 设 = 且CABCbB .)( 的列向量组为γ γ 21 L,,, γ n，则有 ( )( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = ss snnn n s bbb bbb bbb C L MMM LL L L 21 2221 2 1211 1 21 21 ,,,,,, αααγγγ