2.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a//a，b/b，把a与b所成的锐角(或直角）叫做异面直线a与b所成的角(或夹角）;(2)范围：3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补[提醒】(1)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线；(2)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线：[逐点清]3.如图所示，在正方体ABCD-ABiCD,中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线BiC与EF所成角的大小为(A.30°B. 45°D. 90°C. 60°解析：选C连接B,D，DC(图略），则BDIEF，故DBC为所求的角.又BDi=BiC=DiC..ZDIBIC=60°4.如图，在正方体ABCD-A,BCD中，M，N分别为棱CDi，GC的中点，有以下四个结论：①直线AM与CCi是相交直线；②直线AM与BN是平行直线：③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DDI是异面直线其中正确的结论为(填序号）解析：直线AM与CCI是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故②错误，答案：③④重点三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1．直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况2．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况【提醒】直线/和平面α相交、直线/和平面α平行统称为直线/在平面α外，记作Ka.第26页共138页
第 26 页 共 138 页 2．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)； (2)范围： 0， π 2 . 3．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [提醒] (1)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线； (2)异面直线不具有传递性，即若直线 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 不一定是异面 直线． [逐点清] 3.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选 C 连接 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为 所求的角．又 B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60°. 4.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： ①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线． 其中正确的结论为 (填序号)． 解析：直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故①②错误． 答案：③④ 重点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． 2．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． [提醒] 直线 l 和平面 α 相交、直线 l 和平面 α 平行统称为直线 l 在平面 α 外，记作 l⊄ α
[逐点清]5.(易错题)诺alla，bllβ，al/β，则a，b的位置关系是(A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析：选D如图②③所示，，b的关系分别是平行、异面、相交.7/b8图?图?图?【记结论提速度][记结论]1.公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面：推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，3.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行：(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.[提速度]1.如图，在正方体ABCD-AiBiCiD中，E，F分别为BC，BB的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（A，直线AA1B.直线AiBi大C.直线A,DD.直线BiCi解析：选D只有BiG与EF在同一平面内，是相交的，选项A，B，C中直线与EF都是异面直线，故选D.2.若直线上有两个点在平面外，则（）A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外第27页共138页
第 27 页 共 138 页 [逐点清] 5．(易错题)若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a，b 的位置关系是( ) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 解析：选 D 如图①②③所示，a，b 的关系分别是平行、异面、相交． [记结论·提速度] [记结论] 1．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． [提速度] 1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 BC，BB1的中 点，则下列直线中与直线 EF 相交的是( ) A．直线 AA1 B．直线 A1B1 C．直线 A1D1 D．直线 B1C1 解析：选 D 只有 B1C1 与 EF 在同一平面内，是相交的，选项 A，B，C 中直线与 EF 都是异面直线，故选 D. 2．若直线上有两个点在平面外，则( ) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内解析：选D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内。考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练1考点一平面的基本性质及应用[师生共研过关]D[例1]如图所示，在正方体ABCD-A,BC,D,中，E，F分别是AB和AAi的中点。求证：(1)E，C，Di，F四点共面；(2)CE，DIF，DA三线共点.[证明】（1)如图，连接EF，CDI，AiB：E，F分别是AB，AAI的中点，.EFIIBAI.又AIBIlDIC,.:.EFIICDI,.E，C,DI，F四点共面.(2):EFIICDI, EF<CDI,..CE与DiF必相交设交点为P，如图所示，则由PECE，CEC平面ABCD得PE平面ABCD.同理PE平面ADDiA1.又平面ABCDn平面ADDIAI=DA，.PE直线DA，.CE，DF，DA三线共点.第28页共138页
第 28 页 共 138 页 D．直线上至多有一个点在平面内 解析：选 D 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直 线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点 在平面内． 平面的基本性质及应用 [师生共研过关] [例 1] 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点． [证明] (1)如图，连接 EF，CD1，A1B. ∵E，F 分别是 AB，AA1 的中点， ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F 四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，如图所示． 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA， ∴CE，D1F，DA 三线共点．
[对点变式](变设问)诺本例中平面BBDD与AiC交于点M，求证：B，M，Di共线。证明：连接BDi(图略），因为BDI与AiC均为正方体ABCD-AiBiCDi的对角线，故BDi与AiC相交，则令BDI与AiC的交点为0，则B，O，D共线，因为BDiC平面BBiDiD，故A1C与平面BBiDiD的交点为O，与M重合，故B，M，D共线.[解题技法]1：证明点共线问题的常用方法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明公理法这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平辅助平面法面α，β重合[跟踪训练]1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(）第29页共138页
第 29 页 共 138 页 [对点变式] (变设问)若本例中平面 BB1D1D 与 A1C 交于点 M，求证：B，M，D1 共线． 证明：连接 BD1(图略)，因为 BD1 与 A1C 均为正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线， 故 BD1 与 A1C 相交， 则令 BD1 与 A1C 的交点为 O， 则 B，O，D1 共线， 因为 BD1⊂平面 BB1D1D， 故 A1C 与平面 BB1D1D 的交点为 O，与 M 重合， 故 B，M，D1 共线． [解题技法] 1．证明点共线问题的常用方法 公理法 先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理 3 证明 这些点都在交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 2．证明线共点问题的常用方法 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点． 3．证明点、直线共面问题的常用方法 纳入平面法 先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证明平 面 α，β 重合 [跟踪训练] 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 一个图是( )
P.CBA解析：选DA、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面.2.在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么CA.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EFC平面ABC，而GHC平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线所以点P必在直线AC上考点二空间两直线位置关系的判定[师生共研过关][例2]（1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心△ECD为正三角形，平面ECD工平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A，BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线(2)(多选)在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是(A直线AB与CD异面B.对角线AC与 BD相交C.四条边不能都相等D.四条边的中点组成一个平行四边形[解析】（1)如图取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN,MG,GB,BD,BE.：点N为正方形ABCD的中心，点N在BD上，且为BD的中点第30页共138页
第 30 页 共 138 页 解析：选 D A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． 2．在空间四边形 ABCD 各边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EF，GH 相交于点 P，那么( ) A．点 P 必在直线 AC 上 B．点 P 必在直线 BD 上 C．点 P 必在平面 DBC 内 D．点 P 必在平面 ABC 外 解析：选 A 如图，因为 EF⊂平面 ABC，而 GH⊂平面 ADC，且 EF 和 GH 相交于点 P，所以 P 在两面的交线上，因为 AC 是两平面的交线， 所以点 P 必在直线 AC 上. 空间两直线位置关系的判定 [师生共研过关] [例 2] (1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心， △ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点， 则( ) A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 (2)(多选)在空间四边形 ABCD 中，下列说法正确的是( ) A．直线 AB 与 CD 异面 B．对角线 AC 与 BD 相交 C．四条边不能都相等 D．四条边的中点组成一个平行四边形 [解析] (1)如图取 CD 的中点 F，DF 的中点 G，连接 EF， FN，MG，GB，BD，BE. ∵ 点 N 为正方形 ABCD 的中心， ∴ 点 N 在 BD 上，且为 BD 的中点．