证下面只给出(1)的证明,(2)的证明类似 由于lim=l<+∞,由极限的性质知,存在正整数N,当n>N 时, 因此 X.< y 由定理9.32即得所需结论。 在例932中,+3~1(n→∞),在例933中,sm~ 2n n(n→,利用定理932立刻就可得出>2n=n收敛与∑mn发散 的结论
在 例 9.3.2 中 ， n n n − + 3 2 3 ～ 2 2 1 n ( n →)，在例 9.3.3 中 ，sin n ～ n ( n →)，利用定理 9.3.2'立刻就可得出 = − + 1 3 2 3 n n n n 收敛与 1 π sin n n = 发散 的结论。 证 下面只给出（1）的证明，（2）的证明类似。 由于lim n→ n n y x = l + ，由极限的性质知，存在正整数 N，当 n N 时， n n y x l+1， 因此 x n (l+1) n y 。 由定理 9.3.2 即得所需结论
例934判断正项级数∑e2-c03的敛散性 解因为 T COS 1+-+0 所以 e -cos lim 1+ 由∑。收敛,即知∑c7-cs收敛 n=I n
例 9.3.4 判断正项级数 2 1 1 π e cos n n n = − 的敛散性。 解 因为 n n e − cos 2 1 = 2 2 2 2 1 1 1 π 1 1 1 2 o o n n n n + + − − + = 2 2 2 π 1 1 1 2 o n n + + ， 所以 lim n→ 2 1 2 π e cos 1 n n n − = 1+ 2 π 2 。 由 =1 2 1 n n 收敛，即知 2 1 1 π e cos n n n = − 收敛
Cauchy判别法与 D'Alembert判别法 定理9.33( Cauchy判别法)设∑x是正项级数,r=m{xn, 则 (1)当r<1时,级数∑xn收敛 (2)当r>1时,级数∑xn发散 (3)当r=1时,判别法失效,即级数可能收敛,也可能发散
Cauchy 判别法与 D'Alembert 判别法 定理 9.3.3(Cauchy 判别法) 设 n=1 n x 是正项级数，r = n→ lim n n x ， 则 (1)当 r 1 时，级数 n=1 n x 收敛； (2)当 r 1 时，级数 n=1 n x 发散； (3)当 r = 1 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散