注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理9.3,2的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立
注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A 0，使得x n A n y 对一切 n N 成立
注由于改变级数有限个项的数值,并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”),所以定理9.3,2的 条件可放宽为:“存在正整数N与常数A>0,使得xn≤Ayn对一切n>N 成立”。 例932判断正项级数∑”+3的敛散性。 解容易看出当n>3时成立 n+3 2 由∑n2的收敛性,可知∑2n收敛
例 9.3.2 判断正项级数 = − + 1 3 2 3 n n n n 的敛散性。 解 容易看出当 n 3 时成立 n n n − + 3 2 3 2 1 n ， 由 =1 2 1 n n 的收敛性，可知 = − + 1 3 2 3 n n n n 收敛。 注 由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发 散性(虽然在收敛的情况下可能改变它的“和”)，所以定理 9.3.2 的 条件可放宽为：“存在正整数 N 与常数 A 0，使得x n A n y 对一切 n N 成立
例933判断正项级数∑sin的敛散性 解当x∈0,时,成立不等式sinx≥2x,所以当n≥2时, 2 SIn n 7t n 由于∑是发散的,可知∑sn发散
例 9.3.3 判断正项级数 1 π sin n n = 的敛散性。 解 当 2 x 0, 时，成立不等式 sin x 2 π x ，所以当 n 2 时， sin n 2 π n = n 2 ， 由于 =1 1 n n 是发散的，可知 1 π sin n n = 发散
定理9.3.2(比较判别法的极限形式)设∑x与∑yn是两个正 项级数,且 im=l(0≤7≤+∞), n→00 (1)若0≤1<+∞,则当∑y收敛时,∑x也收敛; (2)若0<l≤+∞,则当∑yn发散时,∑x也发散 所以当0<1<+∞时,∑x与∑y同时收敛或同时发散
定理 9.3.2'（比较判别法的极限形式） 设 n=1 n x 与 n=1 n y 是两个正 项级数，且 lim n→ n n y x = l (0 l + )， 则 （1）若 0 l +，则当 n=1 n y 收敛时， n=1 n x 也收敛； （2）若 0 l +，则当 n=1 n y 发散时， n=1 n x 也发散。 所以当 0 l +时， n=1 n x 与 n=1 n y 同时收敛或同时发散
证下面只给出(1)的证明,(2)的证明类似 由于lim=l<+∞,由极限的性质知,存在正整数N,当n>N 时, 因此 X.< y 由定理9.32即得所需结论
证 下面只给出（1）的证明，（2）的证明类似。 由于lim n→ n n y x = l + ，由极限的性质知，存在正整数 N，当 n N 时， n n y x l+1， 因此 x n (l+1) n y 。 由定理 9.3.2 即得所需结论