基本极限定理 定理1：若状态i是周期为d的常返状态，则 lim p) d n→oo 4 当4=时，=0. 注1：当k非d的倍数时1imp=0; 注2：当是非常返状态时∑pm<o,limp=0. n= 推论：若是零常返状态或非常返状态，则lim p=0
基本极限定理 定理1：若状态 i 是周期为 d 的常返状态，则 ( ) lim nd ii n i d p → = 当 时， . i = 0 i d = 注1：当 k 非 d 的倍数时 ； ( ) lim 0 k ii k p → = ( ) ( ) 1 ,lim 0. n n ii ii n n p p → = = 6 注2：当 i是非常返状态时 推论：若 i是零常返状态或非常返状态,则 ( ) lim 0. n ii n p → =
推论 若i为常返状态，则 i为零常返状态→lim p=0. 证明 若i为零常返状态，则4=∞， 从而limp)=0.而当m不是d 的整数倍时，pm=0,故limp=0. 反之，若limp”=0.设i为正常返状 态，则<∞，由定理5.9知道limp>0,矛盾
推论 若 i 为常返状态，则 ( ) lim 0. n ii n p → i 为零常返状态 = 7
p的极限性质定理(1) 若j是非常返状态或零常返状态，则对任意的i有 lim p=0. n→0 证明：因为 p=∑fp 对N<n,有 fp0≤2pg+∑， 1=1 l=N+1 先固定N,令n→0，由于p→0，所以立p→0 再令N→9上式右端第二项因∑f≤1而趋于0 1=1 故 limp=0. n→o
若 j 是非常返状态或零常返状态，则对任意的i 有 ( ) lim 0. n ij n p → = 证明：因为 ( ) ( ) ( ) 1 n n l n l ij ij jj l p f p − = = 对N<n,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , n N n l n l l n l l ij jj ij jj ij l l l N f p f p f − − = = = + + 的极限性质定理（1） ( ) n ij p 先固定N,令 ，由于 ，所以 N → n → ( ) 0 n jj p → ( ) 1 1 l ij l f = ( ) lim 0. n ij n p → = 8 ( ) ( ) 1 0 N l n l ij jj l f p − = → 再令 ，上式右端第二项因 而趋于0 故
p的极限性质定理 （2) 若j是正常返态，周期为d,则对任意的i→j,i lim)=d n→c0 4 1≠md时，pd-0=0 因为1之 nd 证明： m=0 对1≤N<n,有 2pp之 m=0 先固定N,令n→o,由于pa→4，所以氵 再令W→o,上式右端第二项因 ￡(md) fm=f而趋于0 m=0 故 f(md)d d 1 4 m=0 m=0 4 9
的极限性质定理（2） ( ) lim . nd ij n j d p → = 若 j 是正常返态，周期为 d , 则对任意的 i j i S , 有 ( ) n ij p 9 证明：因为 ( ) ( ) ( ) 1 nd nd l nd l ij ij jj l p f p − = = 对1≤N<n,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 , N N n md n m d nd md n m d md ij jj ij ij jj ij m m m N f p p f p f − − = = = + + N → n → ( ) n m d jj j d p − → ( ) ( ) 0 0 md n ij ij ij m n f f f = = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 N N md n m d md ij jj ij m m j d f p f − = = → 故 ( ) ( ) 0 n md n m d ij jj m l md f p − = 令 = ( ) , 0 nd l jj l md p − = 时 先固定N,令 ，由于 ,所以 再令 ，上式右端第二项因 而趋于0 ( ) ( ) ( ) 0 0 md nd md ij ij ij m m j j d d f p f = = = j d = j d || 1
p 的极限性质定理(2) 若j是正常返态，周期为d,则对任意的 i←→j,ieS,有 lim Pi (nd) n→0 特别地，当d=1时， 若j是正常返，非周期，则对任意的i←→j,i∈S,有 limp= 1n→c0 10
的极限性质定理（2） ( ) n ij p ( ) lim . nd ij n j d p → = 若 j 是正常返态，周期为 d , 则对任意的 i j i S , ，有 ( ) n ij p 的极限性质定理（2） ( ) n ij p 10 特别地, 当 d=1时， ( ) 1 lim . n ij n j p → = 若 j 是正常返，非周期 , 则对任意的 i j i S , ，有