2.2有限维分布与Ko I mogorov定理 一随机过程的有限维分布 二.随机过程的数字特征
一.随机过程的有限维分布 2.2 有限维分布与Kolmogorov定理 1 二.随机过程的数字特征
一随机过程的有限维分布 1.随机过程的分布函数 ·随机过程的一维分布： E(x)=P{X(t)≤x},t∈T ·随机过程的二维分布： F,(1,x2)=P{X(41)≤1，X(L2)≤x2,t1,t2∈T 。随机过程的n维分布： 3,2,x,)=P{X)≤，X)≤，.X,)x,4,2,.1neT
1.随机过程的分布函数 ⚫ 随机过程的一维分布： ⚫ 随机过程的二维分布： ⚫ 随机过程的n维分布： ( ) { ( ) } F x P X t x t T t = ， Ft ,t (x1 , x2 ) = P{ X(t 1 ) x1 , X(t 2 ) x2 }, t 1 , t 2 T 1 2 F x x x P X t x X t x X t x t t t T t t t n n n n n , , ( 1 , 2 , ) = { ( 1 ) 1 , ( 2 ) 2 , ( ) } , 1 , 2 , 1 2 2 一.随机过程的有限维分布
2.有限维分布族的定义 ·随机过程的所有一维分布，二维分布，.n维分布 等的全体称为{X),t∈T的有限维分布族 ,(1,x2,.,Xn)341,t2,.,tn∈T,n≥1} 注：它不仅刻划了每一时刻t,∈T随机过程X(t)的 状态X(t)的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1,t2,.,tn∈T随机过程X(t)的状态 X(t),X(t2),.,X(tn)之间的关系
⚫ 随机过程的所有一维分布，二维分布，.n维分布 等的全体称为{X(t), t T}的有限维分布族 2.有限维分布族的定义 1 2 , , , 1 2 1 2 { ( , , , ), , , , , 1} n F x x x t t t T n t t t n n 注：它不仅刻划了每一时刻 t 1 T 随机过程 X (t) 的 状 态 ( ) 1 X t 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t 1 ,t 2 , ,t n T 随 机 过 程 X (t) 的状态 ( ) 1 X t , ( ) 2 X t ,.， ( ) n X t 之间的关系. 3
3.有限维分布族的性质 对称性： 2n(（xx,xn)=Fh,(x1,x2,.,xn） 相容性： m<n 定理2.1(Kolmogorov存在定理) 设一分布函数族满足对称性和相容性，则 必存在一个随机过程{X(),t∈T,使得这个分 布函数族恰好是X()的有限维分布族
定理2. 1 (Kolmogorov存在定理) 设一分布函数族满足对称性和相容性，则 必存在一个随机过程{X(t),t∈T}，使得这个分 布函数族恰好是X(t) 的有限维分布族. 3.有限维分布族的性质 对称性: 1 2 1 2 1 2 , , , , , , 1 2 ( , , , ) ( , , , ) j j j n n n F x x x F x x x t t t j j j t t t n = 相容性: 1 1 1 2 , , , , , 1 , , , 1 ( , , , , ) ( , , ) t t t t m t t t m m m n m F x x F x x + = 4 m<n
例 设随机过程Y(t)=tex,t>0,其中X~Z(2), 求Y(t)的一维概率密度. 解：方法一：分布函数法 eix,x>0 X~Z(2),其概率密度为fx(x)= 0, x≤0 对于固定的t>0, Y(t)的一维分布函数 F()=P{Y(O≤y}=Pe≤y 0,y≤t 0,y≤i 故Y(t)的一维概率密度 y> ,t>0 0,y≤t 0,y≤t
例 5 ( ) ( ) ( ) =te , 0, , X Y t t X Z Y t 设随机过程 其中 求 的一维概率密度. X Z (),其概率密度为 ( ) , 0 0 0 x X e x f x x − = = ， 对于固定的t 0, Y t( )的一维分布函数 ( ) { ( ) } F y P Y t y t = { e } X = P t y { ln }, = 0, y P X y t t y t ln , = 0, X y F y t t y t 故Y t( )的一维概率密度 1 ln , ( )= 0, X t y f y t f y t y y t 1 , = , 0. 0, t y t y t y t + 解： 方法一：分布函数法