7.5 Browni运动的最大值变量及反正弦律 一.首中时及其分布 二.最大值及其分布 三.反正弦律
7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律 一.首中时及其分布 二.最大值及其分布 三.反正弦律 1
一.首中时及其分布 设{B),≥0}为标准布期运动，B(0)=0, 令T。=int;仑0，B()=u, 则T,表示首次击中a的时刻（首中时)· 当a>0时，由全概率公式有 PB(1)a -PB)3aT￡}PT￡}+PB()3aT,>t}PT.>t}
设{B(t),t≥0}为标准布朗运动，B(0)=0， 令Ta=inf{t;t>0,B(t)=a}， 2 一.首中时及其分布 则Ta表示首次击中a的时刻（首中时）. 当a > 0时，由全概率公式有
显然 P{B()3alT,>1}=0 又由布朗运动的对称性知，在{T,≤的条件下， 即B(T)=时，{B(≥与{B()≤a}是等可能的， 即PB)'aTE}PB0sa忆，￡i}=) \PT￡}=2PB()3a} 于是当a>0时，有
显然 又由布朗运动的对称性知，在{Ta≤t}的条件下， 即B(Ta ) =a时，{B(t) ≥a}与{B(t) ≤ a}是等可能的， 即 于是当a > 0时，有 3
F (t=PT=2PB(t)3 a ()=Fe() 0, t￡0 推论1：P亿。<￥}=1布朗运动的常返性. 证：P7<半}四r克卿。 2 2 +￥ Q e 2dx=1. 2p
推论1： 布朗运动的常返性. 4
推论2：ET。=+0布朗运动的零常返性. 证：7，-òP亿>M=0 òe2dudt 0 十￥ a u2 2 Y òyie2dudt= √2p √2p 2du 2a2 2 +￥ 2a1 2a'ei 1】 /2p /2p dhu=￥. 2p 推论3：由布朗运动的对称性，有T,与T有相同的 分布，即P(T≤)=P(T≤)
推论2：ETa=+∞ 布朗运动的零常返性. 5 推论3：由布朗运动的对称性，有T-a与Ta有相同的 分布，即 P(T-a≤t)= P(Ta≤t)