3.2与Poi sson过程相联系的若干分布 一.事件发生时间间隔Xn的分布 二.事件发生时刻Tn的分布 三.事件发生时刻的条件分布
3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 1 二.事件发生时刻Tn的分布 一.事件发生时间间隔Xn的分布 三.事件发生时刻的条件分布
N(t)的样本函数 Nt) 是跃度为1 的阶梯函数 To T1 T2 T3 T4 T,n表示事件A第n次发生的时刻， X,表示第n-1次与第n次事件发生的时间间隔
t T1 T2 T3 T4 . N(t) 是跃度为1 的阶梯函数 Tn表示事件A 第n次发生的时刻， T0 2 N(t)的样本函数 Xn表示第n-1次与第n次事件发生的时间间隔
一.事件发生时间间隔Xn的分布 定理设{Xm,n≥1}是参数为2的泊松过程{Nt),仑0}的时 间间隔序列，则{X,≥1相互独立同服从指数分布，且 EXn=1/2. 证： (1) 因{X>)={(0,内事件A不出现) P(X >t)=P(N(1)=0)=e-i Fx()=1-P{X1>}=1-e,t≥0. 即X,服从均值为1几的指数分布
设{Xn , n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t), t≥0}的时 间间隔序列， 定理 则{Xn , n≥1}相互独立同服从指数分布,且 E Xn =1/λ. 证: (1) 因 {X1>t}={(0, t]内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt 一.事件发生时间间隔Xn的分布 ( ) 1 1 1 1 , 0. t F t P X t e t X − = − = − 即X1 服从均值为1/λ的指数分布. 3
(2)由泊松过程的平稳独立增量性，有 P{X2>X=S}=P{在(s,t什s内事件A不发生X=S} =P{N(t+s)-N(s)=0 X=s) 。X X2 0 =P{Nt+S)-N(s=0} t什s -PNr0-e 与s无关 故X,与X相互独立，且X也服从均值为1/λ的指数 分布
由泊松过程的 独立增量性,有 P{X2>t|X1=s}= s X2 t+s =P{N(t+s) －N(s)=0 |X1=s} = P{N(t+s) －N(s)=0 } = P{N(t)=0}= e－λt 与s 无关 故X2与X1相互独立，且X2也服从均值为1/λ的指数 分布. 4 P{在(s,t+s]内事件A不发生|X1=s } X1 (2) 平稳
(3)对于一般n>1和t>0,以及r1,2,，n-10, 有 P{Xm>tX,=t,1≤in-1} =P{N(t+r1+.+rn-1)一N(1+r2+.+rn-1=0} =P{W(t)-W0)=0}=e-u 即 Fn(t)=P{Xn≤t}=1-e,t≥0
(3) 对于一般 n＞1 和t＞0,以及 r1，r2，.，rn-1>0, 有 P{Xn>t |Xi=ri ,1≤i≤n－1} =P{N(t+r1+ . +rn－1 ) －N(r1+r2+.+rn－1 )=0} = P{N(t) －N(0)=0}= e－λt . ( ) 1 , 0. t F t P X t e t n n − = = − 即 5