数学物理方法 1-8章小结
数学物理方法 1-8 章小结
1.复变函数 导数、可导性、柯西一黎曼方程 2.复变函数的积分 柯西定理∮/()=0 n≠-1 dz0, agS, 2mi Jiz-a neS并且-ayb=0整数 柯西定理f(a) f(=) d.f(=) f(s dz 2ziJiz-a 2zJ(-x)y+1
1.复变函数 导数、可导性、柯西－黎曼方程 2. 复变函数的积分 柯西定理 f (z)dz = 0 . 1, 0, 2 1 = − l l l S S z dz i 并且 − = l n (z ) dz 0, 整数 n −1 . ( ) 2 1 ( ) − = l dz z f z i f 柯西定理 . ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( ) + − = l n n dz z f i n f z
3幂级数收敛、收敛半径R=l k+1 泰勒展开:/(=)=∑a1(=y 洛朗展开:f(=)=∑a(=-=0) k 奇点分类:孤立奇点20 可去奇点极点本性奇点 4留数定理f/()=2nCRy(b)
3. 幂级数 收敛、收敛半径 1 lim + → = k k k a a R ( ) ( ) , 0 0 = = − k k k 泰勒展开： f z a z z 洛朗展开： =− = − k k k f (z) a (z z ) 0 孤立奇点 0 z 可去奇点 极点 本性奇点 奇点分类： 4. 留数定理 ( ) 2 Re ( ). 1 = = l n j bj f z dz i sf
阶极点:mn(z-z0)f(z)=a 0 m阶价极点:(mbm(()=a 用留数计算实变函数的积分 类型1m3)→fnR 2+zz-2 2 z 类型22m>Re()∈上半平面;=/(x)+.(
lim ( ) ( ) . 0 1 0 − → z − z f z = a 一阶极点： z z m阶极点： 1 0 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! 1 0 − − − → − = − z z f z a dz d m m m m z z 2 0 R(conx,sin x)dx = − − + − 1 1 1 ) 2 , 2 ( z iz dz i z z z z R 用留数计算实变函数的积分 类型1 类型2 = + − CR R R j j 2i{ Re sf (zj ),z 上半平面} f (x)dx f (z)dz
类型3 「F( x)cos mdx=F()h=m∑ResF,∈上半平面 G(x) sin mdx=,G(lb=nΣReG(,∈上半平面。 2i Ji 0 5傅立叶变换 傅立叶级数f(x)=a+∑{acos k k +b sin Tf(S)cos k丌 ds k丌 f(ssin--ds
= = 上半平面。 j imz l j j imz F x mxdx F z e dz i sF z e z j ( ) Re ( ) , 2 1 ( )cos 0 = = 上半平面。 j imz l j j imz G z e dz sG z e z i G x mxdx j ( ) Re ( ) , 2 1 ( )sin 0 类型3 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k = = + + 5. 傅立叶变换 傅立叶级数 = = − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1 d l k f l b d l k f l a l l k l l k k