(z-20)"f(-) n m+1 a+(z +… z-2nataolz +a1(2 n m-1次求导后4-1项为幂零项 (z-20)"f(z) dz m-1)a1+Cma(z-=0)+Cm14a(z-=0)2+Cm4a2(z-=0)3+ lin am-1 (m-1)么(=-=0)mf(=)=a
+ − ++ − + − + − + − = + − − − 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m m a z z a z z a a z z a z z z z f z m-1 次求导后 a−1 项为幂零项 − + − + − + − + − = − + − + − − − − 3 2 0 1 2 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m a C a z z C a z z C a z z z z f z dz d m m m m m m m m m 1 0 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! 1 0 − − − → − = − z z f z a dz d m m m m z z
in(z-z0)f(2=)=a1 (二-=0)"f(=) (n-1)!=→>0d 首先一必须确定极点的阶! 分析+经验
1 0 1 1 lim ( ) ( ) ( 1)! 1 0 − − − → − = − z z f z a dz d m m m m z z lim ( ) ( ) . 0 1 0 → − = a− z z f z z z 首先－必须确定极点的阶！ 分析＋经验
3.例 (1)f(2)=”-1=0=1处的留数。分母的因式分解 解f() 二-1(二-1=”+2+…+1)个单极点 li(二-1)f(z)=lm -→1zn-1+zn-2+….+1n 2)求f()≈1 的极点,以及在极点上的留数 SIn z 解2→>n兀,Sinz>0,f(z)- 极点为n兀无穷多个单极点
3. 例 (1) , 1 1 1 ( ) 0 = − = z z f z n 处的留数。 ( 1)( 1) 1 1 1 ( ) 1 2 − + + + = − = z n z z n− z n− 解 f z 分母的因式分解 一个单极点 (2) 求 的极点，以及在极点上的留数。 z f z sin 1 ( ) = 解 z →n, sin z →0, f (z) →. 极点为 无穷多个单极点 z z n z f z n n z z 1 1 1 lim ( 1) ( ) lim 1 2 1 1 = + + + − = → − − −→ − n
2-1兀 2-1丌 Im(=-nf(z)=lm n 2→n丌 :nz sin z =nt(sin z):nz coSz z+2i (3)求f()=分+42 的极点,以及在极点上的留数 z+2i z+2 解f(z) (二2+4)z°(z-2i)(z+2i)z(二-2i) A.单极点z=2i 1=1m(z-2)f(=)=inl →2 →)2 (2i)-8i8
n z n z n z n z n z z z n z z n z n f z ( 1) cos 1 lim (sin )' ( )' lim sin lim ( ) ( ) lim = = − − = − − = → → → → (3) 求 5 4 3 的极点，以及在极点上的留数。 2 ( ) z z z i f z + + = 解 ( 2 ) 1 ( 2 )( 2 ) 2 ( 4) 2 ( ) 3 2 3 3 z z i z i z z i z i z z z i f z − = − + + = + + = A. 单极点 z = 2i 8 8 1 (2 ) 1 1 lim ( 2 ) ( ) lim 3 3 2 2 1 i z i i a z i f z z i z i = − = − = = = → → −