定理4-5若系统(4-1)可控,则存在状态反馈增益阵K 使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定 的位置(复数共軛成对出现) 证明首先选取非零向量L,可得b=BL,由定理4-4 可知存在K1,使(A+BK1b)可控。由单变量极点配置 定理可知存在n维行向量k,使得A+BK+bk的特征值 可任意配置, A+BK+bk-A+BK+BLk- A+B(K+Lk) 所以取K=K1+Lk,即可证明定理45
所以取K= K1+Lk，即可证明定理4-5。 A+BK1+bk=A+BK1+BLk= A+B(K1+Lk) 定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K， 使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定 的位置（复数共軛成对出现）。 证明 首先选取非零向量L，可得b=BL，由定理4-4 可知存在K1，使(A+BK1 b)可控。由单变量极点配置 定理可知存在n维行向量k，使得A+BK1+bk 的特征值 可任意配置
例题1系统方程为 00 x=010x+10 L 01 试构造K1,使(A+BK1,b=BL)可控 解取x1=BL=b,由 x=b,x+1=Ax+Buk(k=1,2,…,n-1) 因为Ax1与x线性无关,故取x2=Ax1可得u1=[001。 又因为Ax与xx构成线性相关组?,u2不能取[00T
T x x u L 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 = + = 例题 1 系统方程为 试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控。 解 取 x1 = BL =b, 由 x1=b, xk+1 = A xk+ B uk (k=1,2, … ,n-1) 因为Ax1与x1线性无关，故取x2= Ax1,可得u1=[00] T。 又因为Ax2与x1 x2构成线性相关组?，u2不能取 [00] T
可取u2=[-11,这样可得x=Ax2+Bu2=202]T 由的计算式(S2)可得 0 10 K 010 111 202 10 A+BK1=-1-11 011 b (A+ BK1b (A+ BK16=1 0 101
可取u2=[-1 1] T ，这样可得x3 = Ax2+B u2 = [2 0 2] T 。 由的计算式(S—2)可得 + + = − − + = − − − − − − = − = − 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 2 1 1 1 1 1 b A BK b A BK b A BK K
不难验证(A+BK1b)可控 例题2系统方程为 0100 10 00 000 000 10 10 0 0 欲使闭环系统(A+BK)具有特征值2,-2,-1+j,-1-j,试 确定状态反馈增益阵K。 解取L=[102x1=b1; 取u1=[10,可得x2=[0100]; 取u2=00]T,可得x3=[1000r; 取u3=[01T,可得x=[0001]
不难验证(A+BK1 b)可控。 例题2 系统方程为 x x u + = 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 欲使闭环系统(A+BK)具有特征值-2,-2,-1+j,-1-j，试 确定状态反馈增益阵K。 取L=[1 0] T,x1=b1； 取u1=[-1 0] T , 可得x2=[0 1 0 0] T ； 取u2=[0 0] T , 可得x3=[1 0 0 0] T ； 取u3=[0 1] T , 可得x4=[0 0 0 1] T ； 解
于是由K1的计算式可得 0010 1000010000-10 K 00101000 000 0001 显然,(A+BK1,b1)可控。令k=队k1k2k3k4l,直接计算 0100 00 0 A+Bk+bk= 4 001
− = − = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 K1 于是由 K1 的计算式可得 显然，(A+BK1 ,b1 )可控。令k=[k1 k2 k3 k4 ], 直接计算 + + = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 3 4 1 1 k k k k A BK b k