复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第十一章 概率 11.5 大数定律和中心极限定理

2、切比雪夫( Chebyshev)大数定律: 设5,52,…,5n;…是相互独立的随机变量序列 (即对每个正整数n≥2,5,52,…,5n是相互独立的) 相应的数学期望依次为E1,E2,…,E5n;…, 方差依次为D51,D52,…,D5n,…,若D5;≤L(i=1,2,…), 这里L是与i无关的常数,则对于VE>0,成立 limp(lin ∑5一∑E<a=1 n→0 证明:∵5,52,…,5n相互独立,所以 ∑5=n∑D5≤ E∑5=∑E i=1 i=1

6 2、切比雪夫（Chebyshev）大数定律： 设    1 2 , , , , n 是相互独立的随机变量序列 （即对每个正整数 n ≥ 2 ,    1 2 , , , n 是相互独立的） 相应的数学期望依次为 1 2 , , , , , E E E n    方差依次为 1 2 , , , , , D D D n    若 ( 1, 2, ) , D L i i    这里 L 是与 i 无关的常数，则对于    0 , 成立 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P E n n                  证明：    1 2 , , , n 相互独立，所以 1 1 n i i D n          2 1 1 n i i D n     2 1 nL n  L n  1 n i i E          1 1 n i i E n    

由切比雪夫不等式得,对于VE>0,成立 Iy 1>p|1 ∑5-∑E5<E|≥1 ≥1 nn nE 令n→∞,由极限的夹逼性得 limp/l ∑5-∑E5<6 n→0 n i=1 推论:设{9n}是相互独立、具有相同分布的随机变量 序列,且EF1=p,DE=a2(i=1,2,…), 则对于VE>0,成立 mP∑-叫<a n→ n

7 由切比雪夫不等式得， 对于    0 , 成立 1 1 1 1 1 n n i i i i P E n n                 1 2 1 1 n i i D n             2 1 L n   令 n → ∞ ，由极限的夹逼性得 1 1 1 1 lim 1 . n n i i n i i P E n n                  推论： 2 , ( 1, 2, ) , E D i i i        设 { }  n 是相互独立、具有相同分布的随机变量 序列，且 则对于    0 , 成立 1 1 lim 1 . n i n i P n               