例5求极限snx 解这是日型未定式，但分子分母分别求导数后，将化为 0 cosx 此式震荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限存在，可用下法 limo sin x =msm 3.22日型未定式 当里了)=必巴g)=0时，展限回用为公型未 g(x) 定式 定理2（洛必达法则）设函数f(x)与g(x)满足条件： (1)lim f(x)=o,lim g(x)=o: (2)f(x)与g(x)在点x的附近（点x可除外）可导，且g(x)≠0： 3)nmf因存在（或为o g'(x) 典得得 对于x→0时的口型未定式，定理2同样成立，注意2，注意3，有类似 的结论。 6
6 例 5 求极限 x x x x sin 1 sin lim 2 →0 。 解 这是 0 0 型未定式，但分子分母分别求导数后，将化为 x x x x x cos 1 cos 1 2 sin lim 0 − → 此式震荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限存在，可用下法 求得 0 1 0 sin lim 1 lim sin sin 1 sin lim sin 1 sin lim 0 0 0 2 0 = = = = → → → → x x x x x x x x x x x x x x x 3.2.2 型未定式 当 = = → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 f x g x x x x x 时，极限 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x 称为 型未 定式 定理 2 （洛必达法则）设函数 f (x) 与 g(x) 满足条件： （1） = = → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 f x g x x x x x ； （2） f (x) 与 g(x) 在点 0 x 的附近（点 0 x 可除外）可导，且 ( ) 0 / g x ； （3） ( ) ( ) lim / / 0 g x f x x→x 存在（或为 ）； 则 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x = ( ) ( ) lim / / 0 g x f x x→x （证明略）。 对于 x → 时的 型未定式, 定理 2 同样成立，注意 2，注意 3，有类似 的结论
例6求极限血xhx x2+1 解这是2型未定式，用洛必达法则得 2x limxlime x+msto x 例7求极限m 解这是”型未定式，用洛必达法则得 lim 6x 例8求极限mant 号tan3x 解这是2型未定式，用洛必达法则得 a2之 cos2x sin 2x= 6c0s6=3 2c0s2x 家强器 解这是”型未定式，用洛必达法则得 >
7 例 6 求极限 x x x x ln 1 lim 2 + →+ 。 解 这是 型未定式，用洛必达法则得 x x x x ln 1 lim 2 + →+ = + + →+ →+ = = x x x x x 1 2 lim ln 1 2 lim 例 7 求极限 x x e x 3 lim →+ 。 解 这是 型未定式，用洛必达法则得 x x e x 3 lim →+ 0 6 lim 6 lim 3 lim 2 = = →+ →+ →+ = = x x x x x x e e x e x 例 8 求极限 x x x tan 3 tan lim 2 → 解 这是 型未定式，用洛必达法则得 = → x x x tan 3 tan lim 2 0 0 2 2 2 2 2 2 cos cos 3 lim 3 1 3sec 3 sec lim = → → = x x x x x x = → 0 0 2 sin 2 sin 6 lim x x x 3 2cos 2 6cos 6 lim 2 = → x x x 例 9 求极限 x x x ln sin 5 ln sin lim →+0 。 解 这是 型未定式，用洛必达法则得