知识点7极限思想一、对极限思想的认识我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率曾经创立了“割圆术”，具体做法是：先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形..随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失
知识点7 极限思想 一、对极限思想的认识 我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的， 如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算，无法直接按 照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面 积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体做法是： 先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形.随着边数的不断增 加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于 圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣
也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。为了便于理解，我们先从数列说起，数列是按照正整数1、2、3、n、.编号依次排列的一列数，可写成如下形式al.a2.a3...an其中称为数列的通项。其实，数列的通项可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an=f（n），其定义域为全体正整数。如
• 也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化 为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变 化趋势的思想。为了便于理解，我们先从数列说起，数列是按照正整 数1、2、3、.、n、.编号依次排列的一列数，可写成如下形式： • a1，a2，a3，.，an，. • 其中称为数列的通项。其实，数列的通项可以看成是自变量为正整 数n的特殊的函数，可写作an=f（n），其定义域为全体正整数。如 • 1， ， ，.， ，. • 2，4，6，.，2n，. • 1，-1，1，-1，1，-1. 2 1 3 1 n 1
都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以为极限，或者说收敛到0。通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数，总是存在一个正整数N，使得nN的通项（N+1及大于它的每一项an，即aN+1,aN+2.）与常数的差的绝对值总小于（在数轴上可以直接地理解为两个点和的距离总小于e），那么就说数列的极限为a
都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋 向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数 列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。通 俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正 整数N，使得n﹥N的通项(N+1及大于它的每一项an,即aN+1,aN+2,.)与常数 的差的绝对值总小于ε（在数轴上可以直接地理解为两个点和的距离总 小于ε），那么就说数列的极限为a
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子aita2ta3t..tant...叫做无穷级数，其中前n项的和可记作Sn=a1+a2+a3+...+an+...称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列S1iS2.S3Sn当n趋向于无穷大时，如果数列的极限存在，可设极限为S，这时极限S就是无穷级数a1+a2+a3+..+an+...的和记作S=aita2+a3t...tant
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子 a1+a2+a3+.+an+. 叫做无穷级数，其中前n项的和可记作 Sn=a1+a2+a3+.+an+.， 称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列 S1，S2，S3，.，Sn，. 当n趋向于无穷大时，如果数列的极限存在，可设极限为S，这时极限S 就是无穷级数a1+a2+a3+.+an+.的和，记作 S=a1+a2+a3+.+an+
小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡：此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无线、曲与直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的近等于n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形的面积和就越来越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果的极限存在，记作S，最后S就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是S
小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小 学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学 生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无线、曲与 直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可 以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面 积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是 曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n个小曲边梯形，在每 个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的近等于 n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形的面积和就越来 越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果的极限存 在，记作S，最后S就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得 到了曲边梯形的面积是S